Questão 3
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Dols elétrons estăo, cada um, à uma distância \mathrm{d}=1,69 \mathrm{e}-10 m de um próton. Se as retas que ligam cada elétron ao próton formam um ângulo de a=2,30 rad entre si, ache a magnitude da força elétrica em Newtons que os elétrons exercerăo no próton. Use
k=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2}
Escolha uma opção:
◯ A. nenhuma das outras
◯ B. 6,59 \mathrm{e}-09
◯ C. 3,13 \mathrm{e}-09
◯ D. 5,05 \mathrm{e}-09

Passo 1

O enunciado pede a magnitude da força elétrica resultante que dois elétrons exercem sobre um próton, sabendo que:
  • Cada elétron está a uma distância \,d=1,69\times10^{-10}\\ \mathrm{m}\, do próton (peguei esse dado do enunciado).
  • As retas que ligam os elétrons ao próton formam um ângulo \,a=2,30\\ \mathrm{rad}\, entre si (peguei esse dado do enunciado).
  • Constante eletrostática \,k=9\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}\, (fornecida).
    O que se quer: a magnitude do vetor força total sobre o próton, em newtons, causada pela soma vetorial das duas forças elétricas individuais exercidas pelos elétrons.

Passo 2

Revisão e fórmula que vamos usar (aula rápida):
  • A lei de Coulomb dá a magnitude da força elétrica entre duas cargas pontuais:
F=\frac{k\,|q_1 q_2|}{r^{2}},
onde F é a magnitude da força entre as cargas, k é a constante eletrostática, q_1 e q_2 são as cargas (em coulombs) e r é a distância entre elas (em metros).
  • No nosso caso cada interação é entre um elétron (carga -e) e um próton (carga +e). A magnitude do produto de cargas é e^{2}, com e sendo a carga elementar. Vou usar e=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (valor padrão).
  • Primeiro calculamos a magnitude da força de um elétron sobre o próton (força individual).

Passo 3

Cálculo da força de um único elétron sobre o próton:
  • Usando a fórmula de Coulomb com q_1=+e, q_2=-e (apenas o módulo importa para a magnitude) e r=d:
F_{\text{um}}=\frac{k\,e^{2}}{d^{2}}.
  • Substituindo números:
e=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C},\qquad e^{2}=(1,602\times10^{-19})^{2}=2,5664\times10^{-38}\\ \mathrm{C^{2}}.
d^{2}=(1,69\times10^{-10})^{2}=2,8561\times10^{-20}\\ \mathrm{m^{2}}.
F_{\text{um}}=\frac{9\times10^{9}\times 2,5664\times10^{-38}}{2,8561\times10^{-20}}.
  • Agora simplificar as potências e coeficientes:
\text{numerador}=9\times10^{9}\times 2,5664\times10^{-38}=2,30976\times10^{-28},
F_{\text{um}}=\frac{2,30976\times10^{-28}}{2,8561\times10^{-20}}=0,80869\times10^{-8}=8,0869\times10^{-9}\\ \mathrm{N}.
Portanto a magnitude da força exercida por cada elétron no próton é aproximadamente
F_{\text{um}}\approx 8,09\times10^{-9}\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Como somar as duas forças vetoriais (aulas de vetores, mastigado):
  • As duas forças têm mesma magnitude F_{\text{um}} e a direção de cada uma vai do próton para cada elétron (atração). O ângulo entre essas duas forças é exatamente o ângulo \,a dado.
  • A soma vetorial de dois vetores de mesma magnitude F separados por ângulo a tem magnitude
F_{\text{tot}}=2F\cos\!\left(\frac{a}{2}\right).
(Explicação curta: desenhando os vetores com a mesma origem, o triângulo formado tem base igual ao resultado; a fórmula surge da decomposição simétrica dos vetores no bissetor.)
  • Aplicando ao nosso caso com F=F_{\text{um}} e a=2,30\\ \mathrm{rad}:
\frac{a}{2}=1,15\\ \mathrm{rad},\qquad \cos\!\left(1,15\right)\approx 0,4058.
F_{\text{tot}}=2\times 8,0869\times10^{-9}\times 0,4058.
  • Calculando:
2\times 8,0869\times10^{-9}=1,61738\times10^{-8},
F_{\text{tot}}=1,61738\times10^{-8}\times 0,4058\approx 6,57\times10^{-9}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Arredondamento e comparação com as opções:
  • Obtivemos F_{\text{tot}}\approx 6,57\times10^{-9}\\ \mathrm{N}.
  • Entre as alternativas dadas, a que melhor coincide é a alternativa B, 6,59\times10^{-9} (mesma ordem e muito próxima ao valor calculado — diferença pequena por arredondamentos nos constantes).

Resposta

B. 6,59\times10^{-9}\\ \mathrm{N}

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