Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=clcos x & se |x|á

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função f(x)=cos x para |x| e zero caso contrário. Esse exercício envolve a definição de transformada de Fourier e o cálculo de integrais de exponenciais.

Passo 2

Pela definição de transformada de Fourier, temos
F(omega)=integral-infty^inftyf(x)e^-iomega x,dx
Como f(x)=0 fora de [-pi/2,pi/2], a integral fica
F(omega)=integral-pi/2^pi/2cos x,e^-iomega x,dx.

Passo 3

Para facilitar a integração, usamos a representação exponencial de cos x:
cos x=tfrac12l(e^ix+e^-ixr),
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F(omega)=12integral-pi/2^pi/2l(e^ix+e^-ixr)e^-iomega x,dx

Passo 4

Distributindo o integrando, obtemos duas integrais do tipo integral e^ialpha xdx. Cada uma delas avaliada de -pi/2 a pi/2
integral-pi/2^pi/2e^ialpha xdx=e^ialpha xialpha|-pi/2^pi/2=2sin(alphapi/2)alpha
Substituindo alpha=1-omega e alpha=-(1+omega), chega-se a
F(omega)=sinl((1-omega)tfracpi2r)1-omega+sinl((1+omega)tfracpi2r)1+omega

Passo 5

Agora aplicamos identidades trigonométricas:
sinl((1-omega)tfracpi2r)=cos(omegatfracpi2),sinl((1+omega)tfracpi2r)=cos(omegatfracpi2)
Somando as frações e fatorando cos(omegapi/2), obtemos
F(omega)=2cos(omegatfracpi2)1-omega^2

Resposta

F(\omega)=\frac{2\cos\bigl(\tfrac{\omega\pi}{2}\bigr)}{1-\omega^2}

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