Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos,
).
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier da função
para
e zero caso contrário. Esse exercício envolve a definição de transformada de Fourier e o cálculo de integrais de exponenciais.
Passo 2
Pela definição de transformada de Fourier, temos
Como
Passo 3
Para facilitar a integração, usamos a representação exponencial de
:
logo
Passo 4
Distributindo o integrando, obtemos duas integrais do tipo
. Cada uma delas avaliada de
a
dá
Substituindo
Passo 5
Agora aplicamos identidades trigonométricas:
Somando as frações e fatorando
Resposta
F(\omega)=\frac{2\cos\bigl(\tfrac{\omega\pi}{2}\bigr)}{1-\omega^2}