Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=cle^x & se x<0, 0 & se x>0

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função a peças f(x)=e^{x} para x<0 e f(x)=0 para x>0. O conteúdo aqui é a definição da transformada de Fourier e o cálculo de integrais impróprias de exponenciais.

Passo 2

Lembrando a definição da transformada de Fourier:
F(omega)=integral-infty^inftyf(x),e^-iomega x,dx

Passo 3

Como f(x) só é não nula em x<0, a integral acima vira
F(omega)=integral-infty^0e^x,e^-iomega x,dx=integral-infty^0e^(1 - iomega),x,dx

Passo 4

Para avaliar esta integral imprópria, usamos que se a satisfaz Re( a)>0 então
integral-infty^0e^a,x,dx=[e^a,xa]x=-infty^0=1a
Aqui a=1 - iomega tem parte real igual a 1>0, garantindo convergência. Portanto
F(omega)=11 - iomega

Resposta

F(omega)=dfrac11 - iomega

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