Determine o volume da esfera de raio usando integrais duplas e triplas.
Passo 1
A questão pede para calcular o volume de uma esfera de raio usando duas abordagens de cálculo de múltiplas integrais: integral dupla (interpretando o volume como área sob uma função dupla) e integral tripla (diretamente em coordenadas esféricas). Vamos usar conceitos de troca para coordenadas polares e esféricas.
Passo 2
Na abordagem com integral dupla, observamos que a esfera de equação pode ser vista como a região entre as superfícies e acima do disco . Assim, o volume é
Como é o disco de raio , passamos para coordenadas polares: , , , com e . A integral vira
Passo 3
Para calcular , usamos a substituição , de modo que . Assim,