Determine o volume da esfera de raio a usando integrais duplas e triplas.

Passo 1

A questão pede para calcular o volume de uma esfera de raio a usando duas abordagens de cálculo de múltiplas integrais: integral dupla (interpretando o volume como área sob uma função dupla) e integral tripla (diretamente em coordenadas esféricas). Vamos usar conceitos de troca para coordenadas polares e esféricas.

Passo 2

Na abordagem com integral dupla, observamos que a esfera de equação x^2+y^2+z^2=a^2 pode ser vista como a região entre as superfícies z=+raiza^2-x^2-y^2 e z=-raiza^2-x^2-y^2 acima do disco D:,x^2+y^2<= a^2. Assim, o volume é V=integral duplaDl(ztopo-zfundor),dA=integral duplaD2raiza^2-x^2-y^2,dA
Como D é o disco de raio a, passamos para coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta, com rin[0,a] e thetain[0,2pi]. A integral vira V=integral0^2piintegral0^a2raiza^2-r^2;r,dr,dtheta

Passo 3

Para calcular I=integral0^arraiza^2-r^2,dr, usamos a substituição u=a^2-r^2, de modo que du=-2r,dr. Assim,
I=integralr=0^r=arraiza^2-r^2,dr=12integralu=a^2^u=0-raizu,du=12integral0^a^2u^1/2,du=12cdot23u^3/2|0^a^2=13a^3

Passo 4

Voltando à integral em theta:
V=2integral0^2piI,dtheta=2integral0^2pi13a^3,dtheta=23a^3cdot2pi=43pi a^3

Passo 5

Na abordagem com integral tripla, escolhemos coordenadas esféricas:
x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta, z=rhocosvarphi, dV=rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Passo 6

Os limites são rhoin[0,a], varphiin[0,pi] e thetain[0,2pi]. Logo
V=integral0^2piintegral0^piintegral0^arho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Passo 7

A integral se separa:
integral0^arho^2,drho=a^33,integral0^pisinvarphi,dvarphi=2,integral0^2pidtheta=2pi

Passo 8

Multiplicando tudo,
V=a^33times2times2pi=43pi a^3,
confirmando o mesmo resultado obtido pela integral dupla.

Resposta

V=43pi a^3

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