Dadas as funções abaixo, esboce o gráfico e encontre, se existirem, os limites nos valores indicados. lim x 1 f(x) ?
Passo 1
O enunciado apresenta a função por partes:
f(x)= 1+ x,&x< -1, x^2,&-1<= x<=1, 2- x,&x>=1
O conteúdo é gráfico de função definida por trechos e cálculo de limite. Para resolver, vamos precisar esboçar cada ramo e usar limites laterais para ver se o limite em x→1 existe.
Passo 2
Para esboçar o gráfico, analisamos cada trecho:
Para x<−1, f(x)=1+x é uma reta de inclinação 1 e intercepto em y=1. No ponto x=−1, f(−1)=0; como esse ramo vale só para x<−1, colocamos um círculo aberto em (−1,0).
Para −1≤x≤1, f(x)=x² é uma parábola. Em x=−1 e x=1 ela vale 1; como esse ramo inclui as extremidades, colocamos círculos fechados em (−1,1) e em (1,1).
Para x≥1, f(x)=2−x é uma reta de inclinação −1 e intercepto em y=2. Em x=1 ela vale 1; aqui o ponto (1,1) fica fechado e continua a reta para x>1.
Passo 3
Para calcular o limite pela esquerda em x→1, usamos o ramo do meio f(x)=x². Assim, temos
limxto1^-f(x)=limxto1^-x^2=1^2=1
Passo 4
Para calcular o limite pela direita em x→1, usamos o ramo de cima f(x)=2−x. Assim, temos
limxto1^+f(x)=limxto1^+(2-x)=2-1=1
Passo 5
Como os limites laterais coincidem (1 à esquerda e 1 à direita), concluímos que o limite em x→1 existe e vale esse valor.