Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos,
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a transformada de Fourier da função $ f(x) $ definida por:
Aqui, estamos lidando com Transformada de Fourier, que é uma ferramenta matemática usada para transformar sinais do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Fourier e algumas integrais básicas envolvendo funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Fourier para uma função $ f(x) $:
No nosso caso, $ f(x) $ é diferente de zero apenas quando $ |x| < 1 $. Então, podemos simplificar a integral para os limites de -1 a 1:
Passo 3
Observamos que $ e^{-|x|} $ é uma função par, ou seja, $ e^{-|x|} = e^{-|{-x}|} $. Além disso, $ e^{-ikx} $ pode ser escrita usando a fórmula de Euler:
Como $ e^{-|x|} $ é par e $ \sin(kx) $ é ímpar, o termo envolvendo $ \sin(kx) $ irá se anular quando integrarmos de -1 a 1. Portanto, a integral simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral:
Usamos a fórmula de integração para $ e^{ax} \cos(bx) $:
Neste caso, $ a = -1 $ e $ b = k $. Aplicando a fórmula:
Passo 5
Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 1:
Calculando nos limites:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = 0 $:
Então, a diferença é:
Passo 6
Multiplicando por 2, conforme a simplificação anterior:
Resposta
A transformada de Fourier da função $ f(x) $ é: