Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=cle^-|x| & se |x|<1, 0 & se |x|>1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a transformada de Fourier da função $ f(x) $ definida por:
f(x)
Aqui, estamos lidando com Transformada de Fourier, que é uma ferramenta matemática usada para transformar sinais do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Fourier e algumas integrais básicas envolvendo funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Fourier para uma função $ f(x) $:
f(x)
No nosso caso, $ f(x) $ é diferente de zero apenas quando $ |x| < 1 $. Então, podemos simplificar a integral para os limites de -1 a 1:
Ff(x)(k) = integral-infty^+infty f(x) e^-ikx dx

Passo 3

Observamos que $ e^{-|x|} $ é uma função par, ou seja, $ e^{-|x|} = e^{-|{-x}|} $. Além disso, $ e^{-ikx} $ pode ser escrita usando a fórmula de Euler:
e^-|x|
Como $ e^{-|x|} $ é par e $ \sin(kx) $ é ímpar, o termo envolvendo $ \sin(kx) $ irá se anular quando integrarmos de -1 a 1. Portanto, a integral simplifica para:
e^-|x| = e^-|-x|

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral:
integral e^-x cos(kx) dx
Usamos a fórmula de integração para $ e^{ax} \cos(bx) $:
e^ax cos(bx)
Neste caso, $ a = -1 $ e $ b = k $. Aplicando a fórmula:
integral e^ax cos(bx) dx = e^axa^2 + b^2 (a cos(bx) + b sin(bx)) + C

Passo 5

Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 1:
integral0^1 e^-x cos(kx) dx = [ e^-x1 + k^2 (-cos(kx) + k sin(kx)) ]0^1
Calculando nos limites:
Para $ x = 1 $:
x = 1
Para $ x = 0 $:
e^-11 + k^2 (-cos(k) + k sin(k))
Então, a diferença é:
x = 0

Passo 6

Multiplicando por 2, conforme a simplificação anterior:
Ff(x)(k) = 2 [1 - e^-1 (cos(k) - k sin(k))]1 + k^2

Resposta

A transformada de Fourier da função $ f(x) $ é:
f(x)

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