Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=clsen x & se |x|á

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a transformada de Fourier de um pulso de seno: f(x)=sen x para |x|<π e 0 caso contrário. O conteúdo é Transformada de Fourier e vamos precisar usar a definição integral da transformada e a representação exponencial de sen x.

Passo 2

Primeiro, lembramos a definição da transformada de Fourier no parâmetro ω:
F(ω)=integral-∞^∞f(x)e^-iωx,dx
Como f(x)=0 fora de [−π,π], isso vira
F(ω)=integral-π^πsin x,e^-iωx,dx

Passo 3

Para integrar, substituímos sin x pela forma exponencial:
sin x=e^ix-e^-ix2i
Então
F(ω)=12iintegral-π^πl(e^ix-e^-ixr)e^-iωx,dx

Passo 4

Distribuindo o expoente, temos duas integrais de forma geral integral e^-i(ω∓1)xdx.
F(ω)=12il[integral-π^πe^-i(ω-1)xdx -integral-π^πe^-i(ω+1)xdxr]
Cada integral é fácil:
integral-π^πe^-iαxdx=e^-iαx-iα|-π^π=e^-iαπ-e^iαπ-iα

Passo 5

Substituindo α=ω−1 e α=ω+1, e usando
e^-iαπ-e^iαπ=-2isin(απ),
obtém-se
F(ω)=12il[-2isin((ω-1)π)-i(ω-1) - -2isin((ω+1)π)-i(ω+1)r]

Passo 6

Simplificando cada fração dá
F(ω)=sin((ω-1)π)ω-1cdot1i - sin((ω+1)π)ω+1cdot1i = sin((ω-1)π)i(ω-1) - sin((ω+1)π)i(ω+1)
O que também podemos juntar em
F(ω)=sin((ω-1)π)ω-1cdot(-i) - sin((ω+1)π)ω+1cdot(-i)= -il[sin((ω-1)π)ω-1-sin((ω+1)π)ω+1r]

Passo 7

Para simplificar ainda mais, note que
sin((ω±1)π)=sin(πω±π)=-sin(πω)
Logo
F(ω)=-il[-sin(πω)ω-1--sin(πω)ω+1r] = isin(πω)l[1ω-1-1ω+1r] =2i,sin(πω)ω^2-1
Pronto, chegamos à forma mais compacta.

Passo 8

O resultado final é
F(ω)=2i,sin(πω)ω^2-1

Resposta

F(ω)=dfrac2i,sin(πω)ω^2-1.

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