Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos,
).
Passo 1
O enunciado nos pede para calcular a transformada de Fourier de um pulso de seno: f(x)=sen x para |x|<π e 0 caso contrário. O conteúdo é Transformada de Fourier e vamos precisar usar a definição integral da transformada e a representação exponencial de sen x.
Passo 2
Primeiro, lembramos a definição da transformada de Fourier no parâmetro ω:
Como f(x)=0 fora de [−π,π], isso vira
Passo 3
Para integrar, substituímos
pela forma exponencial:
Então
Passo 4
Distribuindo o expoente, temos duas integrais de forma geral
.
Cada integral é fácil:
Passo 5
Substituindo α=ω−1 e α=ω+1, e usando
obtém-se
Passo 6
Simplificando cada fração dá
O que também podemos juntar em
Passo 7
Para simplificar ainda mais, note que
Logo
Pronto, chegamos à forma mais compacta.
Passo 8
O resultado final é