Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique.
A função
satisfaz a equação diferencial
.
A função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a função $ y = x e^{-x} $ realmente satisfaz a equação diferencial $ x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x y $. Então, o conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais, e a gente vai precisar calcular a segunda derivada de $ y $ em relação a $ x $ para comparar com a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ y $ em relação a $ x $. A função é $ y = x e^{-x} $. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a primeira função vezes a derivada da segunda mais a segunda função vezes a derivada da primeira.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, $ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} $. Precisamos derivar novamente $ \frac{dy}{dx} = e^{-x}(1 - x) $.
Aplicando a regra do produto de novo:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos a segunda derivada, vamos multiplicar por $ x $ conforme a equação diferencial dada:
Passo 5
Vamos comparar isso com o lado direito da equação diferencial, que é $ x y $:
Passo 6
Agora, vamos igualar as duas expressões obtidas:
Podemos cancelar $ e^{-x} $ dos dois lados (desde que $ e^{-x} \neq 0 $):
Expandindo o lado esquerdo:
Subtraindo $ x^{2} $ de ambos os lados:
Isso só é verdadeiro se $ x = 0 $.
Resposta
A afirmação é falsa, pois a função $ y = x e^{-x} $ só satisfaz a equação diferencial $ x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x y $ quando $ x = 0 $, não para todos os valores de $ x $.