Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique.
A função y=x e^-x satisfaz a equação diferencial x d^2 yd x^2=x y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a função $ y = x e^{-x} $ realmente satisfaz a equação diferencial $ x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x y $. Então, o conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais, e a gente vai precisar calcular a segunda derivada de $ y $ em relação a $ x $ para comparar com a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ y $ em relação a $ x $. A função é $ y = x e^{-x} $. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a primeira função vezes a derivada da segunda mais a segunda função vezes a derivada da primeira.
Então:
y

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, $ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} $. Precisamos derivar novamente $ \frac{dy}{dx} = e^{-x}(1 - x) $.
Aplicando a regra do produto de novo:
d^2 yd x^2
Simplificando:
dydx = e^-x(1 - x)

Passo 4

Agora que temos a segunda derivada, vamos multiplicar por $ x $ conforme a equação diferencial dada:
x

Passo 5

Vamos comparar isso com o lado direito da equação diferencial, que é $ x y $:
x y

Passo 6

Agora, vamos igualar as duas expressões obtidas:
- x(2 - x)e^-x = x^2 e^-x
Podemos cancelar $ e^{-x} $ dos dois lados (desde que $ e^{-x} \neq 0 $):
e^-x
Expandindo o lado esquerdo:
e^-x neq 0
Subtraindo $ x^{2} $ de ambos os lados:
- x(2 - x) = x^2
Isso só é verdadeiro se $ x = 0 $.

Resposta

A afirmação é falsa, pois a função $ y = x e^{-x} $ só satisfaz a equação diferencial $ x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x y $ quando $ x = 0 $, não para todos os valores de $ x $.

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