Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=llx & se |x|<1, 0 & caso contrário á

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier da função f(x)=x para |x|<1 e zero caso contrário. Vamos usar o conceito de transformada de Fourier e técnica de integração por partes para functions de suporte finito.

Passo 2

A definição da transformada que vamos usar é
F(omega)=integral-infty^inftyf(x)e^-iomega x,dx
Como f(x)=0 fora de [-1,1], isso vira
F(omega)=integral-1^1x,e^-iomega x,dx

Passo 3

Para calcular integral-1^1x e^-iomega x,dx usamos integração por partes escolhendo
u = x, dv = e^-iomega x,dx
Então
du = dx, v = e^-iomega x-iomega
Logo a integral vira
integral x e^-iomega x,dx = -x e^-iomega xiomega | - integral -1iomegae^-iomega x,dx

Passo 4

Calculando a primitiva completa temos
integral x e^-iomega x,dx = -x e^-iomega xiomega - e^-iomega x(iomega)^2 + C
Agora avaliamos de x=-1 até x=1 e usamos
1iomega = -iomega, 1(iomega)^2 = -1omega^2

Passo 5

Substituindo os limites e simplificando, obtemos
F(omega)=(iomega-1)e^-iomega+(iomega+1)e^iomegaomega^2
Para chegar a forma final usamos as identidades
e^iomega+e^-iomega=2cosomega, e^iomega-e^-iomega=2isinomega

Passo 6

Aplicando essas identidades o numerador fica
(iomega-1)e^-iomega+(iomega+1)e^iomega=2il(omegacosomega+sinomegar)
e então a transformada final é obtida.

Resposta

F(omega)=2il(omegacosomega+sinomegar)omega^2

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