Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos,
).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier da função f(x)=x para |x|<1 e zero caso contrário. Vamos usar o conceito de transformada de Fourier e técnica de integração por partes para functions de suporte finito.
Passo 2
A definição da transformada que vamos usar é
Como f(x)=0 fora de [-1,1], isso vira
Passo 3
Para calcular
usamos integração por partes escolhendo
Então
Logo a integral vira
Passo 4
Calculando a primitiva completa temos
Agora avaliamos de x=-1 até x=1 e usamos
Passo 5
Substituindo os limites e simplificando, obtemos
Para chegar a forma final usamos as identidades
Passo 6
Aplicando essas identidades o numerador fica
e então a transformada final é obtida.