Calcule a transformada de Fourier de
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier de uma função triangular definida por
O conteúdo aqui é transformada de Fourier de uma função de suporte finito e par. Vamos usar a definição de Fourier e a propriedade de funções pares.
Passo 2
Como a função f(x) é par (ou seja, f(-x)=f(x)), sua transformada
pode ser reduzida a uma transformada cosseno:
Passo 3
Substituindo f(x)=\frac{a}{L}(L-x) no integral, obtemos
Agora precisamos calcular esse integral.
Passo 4
Para calcular I=\int_{0}^{L}(L-x)\cos(\omega x),dx, usamos integração por partes: seja u=L-x, dv=\cos(\omega x)dx, então du=-dx e v=\frac{\sin(\omega x)}{\omega}. Assim,
O termo de fronteira dá zero, restando
Passo 5
Substituindo I em F(\omega), temos
Usando a identidade 1-\cos\theta=2\sin^{2}(\theta/2), fica
Passo 6
Para deixar mais elegante, note que
e, portanto,