Calcule a transformada de Fourier de
f(x)=laL(L-x) ; x in[0, L] aL(L+x) ; x in[-L, 0]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier de uma função triangular definida por
f(x)= aL(L-x), & xin[0,L], aL(L+x), & xin[-L,0],
O conteúdo aqui é transformada de Fourier de uma função de suporte finito e par. Vamos usar a definição de Fourier e a propriedade de funções pares.

Passo 2

Como a função f(x) é par (ou seja, f(-x)=f(x)), sua transformada
F(omega)=integral-infty^inftyf(x)e^-iomega x,dx
pode ser reduzida a uma transformada cosseno:
F(omega)=2integral0^Lf(x)cos(omega x),dx

Passo 3

Substituindo f(x)=\frac{a}{L}(L-x) no integral, obtemos
F(omega)=2aLintegral0^L(L-x)cos(omega x),dx
Agora precisamos calcular esse integral.

Passo 4

Para calcular I=\int_{0}^{L}(L-x)\cos(\omega x),dx, usamos integração por partes: seja u=L-x, dv=\cos(\omega x)dx, então du=-dx e v=\frac{\sin(\omega x)}{\omega}. Assim,
I=(L-x)sin(omega x)omega|0^L+integral0^Lsin(omega x)omega,dx
O termo de fronteira dá zero, restando
I=1omegaintegral0^Lsin(omega x),dx=1omega[-cos(omega x)omega]0^L=1-cos(omega L)omega^2

Passo 5

Substituindo I em F(\omega), temos
F(omega)=2aLcdot1-cos(omega L)omega^2=2aLomega^2l(1-cos(omega L)r)
Usando a identidade 1-\cos\theta=2\sin^{2}(\theta/2), fica
F(omega)=4aLomega^2sin^2l(omega L2r)

Passo 6

Para deixar mais elegante, note que
sin^2(omega L/2)(omega L/2)^2=l(sin(omega L/2)omega L/2r)^2
e, portanto,
F(omega)=aLl(sin(omega L/2)omega L/2r)^2

Resposta

F(omega)=aLl(sin(omega L/2)omega L/2r)^2

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