Derive e simplifique.
y=arctg(x)

Passo 1

Temos a função y=arctan(x). O conteúdo aqui é derivação de funções inversas, em particular de funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos usar diferenciação implícita e uma identidade trigonométrica para simplificar o resultado.

Passo 2

Começamos definindo implicitamente a função inversa: x = tan(y). Esse passo funciona porque arctan é inversa de tan para valores em (-pi2,pi2).

Passo 3

Agora, diferenciamos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo temos ddx[x]=1. Do lado direito, aplicamos a regra da cadeia: ddx[tan(y)] = sec^2(y),y'. Então obtemos a equação:
1 = sec^2(y),y'

Passo 4

Desse resultado, isolamos y':
y' = 1sec^2(y)

Passo 5

Para expressar sec^2(y) em termos de x, usamos a identidade trigonométrica sec^2(y) = 1 + tan^2(y). Como tan(y) = x, temos sec^2(y) = 1 + x^2. Substituindo em y', fica
y' = 11 + x^2

Resposta

y' = 11 + x^2

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