Derive e simplifique.
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo aqui é derivação de funções inversas, em particular de funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos usar diferenciação implícita e uma identidade trigonométrica para simplificar o resultado.
Passo 2
Começamos definindo implicitamente a função inversa:
. Esse passo funciona porque
é inversa de
para valores em
.
Passo 3
Agora, diferenciamos ambos os lados em relação a
. Do lado esquerdo temos
. Do lado direito, aplicamos a regra da cadeia:
. Então obtemos a equação:
Passo 4
Desse resultado, isolamos
:
Passo 5
Para expressar
em termos de
, usamos a identidade trigonométrica
. Como
, temos
. Substituindo em
, fica