Verifique em que pontos as funções abaixo são aplicações conforme.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar em quais pontos a função f(z)=exp(z) é uma aplicação conforme, ou seja, onde ela é holomorfa com derivada não nula. Vamos usar teoria de análise complexa sobre holomorphicidade e critério de derivada.
Passo 2
Sabemos que a função exponencial complexa é dada pela série de potências
. Como essa série converge para todo
, concluímos que
é holomorfa em todo o plano complexo.
Passo 3
Para verificar onde a derivada é não nula, calculamos a derivada de
:
Passo 4
Agora, analisamos os zeros de
. A função
nunca se anula, pois não existe
tal que
.
Passo 5
Como
é holomorfa em
e sua derivada não se anula em nenhum ponto, ela é conforme em todo o plano complexo.
Resposta
A função
é conforme em todos os pontos de
.