Encontre os valores de
para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar para quais valores de $ x $ a série $ \sum_{n=0}{\infty}(x+2){n} $ converge e também calcular a soma dessa série nesses valores. Vamos usar o conceito de séries geométricas para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica é da forma $ \sum_{n=0}^{\infty} ar^{n} $, onde $ a $ é o primeiro termo e $ r $ é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, $ a = 1 $ (quando $ n = 0 $, $ (x+2)^0 = 1 $) e $ r = x + 2 $.
Passo 3
Agora, para uma série geométrica convergir, a razão $ r $ precisa satisfazer a condição:
Isso significa que o valor absoluto de $ r $ deve ser menor que 1.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de $ x $.
Passo 5
Resolvendo $ |x + 2| < 1 $:
Subtraindo 2 em todas as partes:
Então, a série converge para valores de $ x $ entre -3 e -1.
Passo 6
Agora, vamos calcular a soma da série quando ela converge. A fórmula da soma $ S $ de uma série geométrica é:
Onde $ a = 1 $ e $ r = x + 2 $.
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:
Resposta
A série $ \sum_{n=0}{\infty}(x+2){n} $ converge para $ -3 < x < -1 $ e a soma da série nesse intervalo é $ S = \frac{-1}{x + 1} $.