Calcule a transformada de Fourier de um pulso triangular:
x(t)= 1-|t|tau & se |t|<tau 0 & se |t|>tau

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício pedindo para calcular a transformada de Fourier de um pulso triangular definido por:
x(t)= 1-|t|tau & se |t|<tau 0 & se |t|>tau
Então, o que é isso? A transformada de Fourier é uma ferramenta que nos permite transformar um sinal no domínio do tempo para o domínio da frequência. Isso é muito útil para entender como diferentes frequências estão presentes no sinal. Para resolver isso, vamos precisar saber a definição da transformada de Fourier e como aplicá-la a funções que são definidas por partes, como nosso pulso triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier. Para uma função x(t) , a transformada de Fourier X(omega) é dada por:
X(omega) = integral-infty^infty x(t) e^-jomega t dt
No nosso caso, como x(t) é zero fora de -tau e tau, a integral simplifica para:
X(omega) = integral-tau^tau (1 - |t|tau) e^-jomega t dt

Passo 3

Agora, vamos lidar com a parte absoluta |t|. Para facilitar, vamos dividir a integral em duas partes: de -tau a 0 e de 0 a tau.
Então:
X(omega) = integral-tau^0 (1 + ttau) e^-jomega t dt + integral0^tau (1 - ttau) e^-jomega t dt

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente. Começando com a primeira:
I1 = integral-tau^0 (1 + ttau) e^-jomega t dt
Fazemos uma substituição para simplificar:
Se u = t , então du = dt .
Integrando termo a termo:
I1 = integral-tau^0 e^-jomega t dt + 1tau integral-tau^0 t e^-jomega t dt

Passo 5

Calculando a primeira parte de I1 :
integral e^-jomega t dt = e^-jomega t-jomega
Aplicando os limites de -tau a 0:
1-jomega [ e^0 - e^jomega tau ] = 1 - e^jomega taujomega

Passo 6

Agora, a segunda parte de I1 :
Usamos integração por partes onde:
u = t , dv = e^-jomega t dt , então du = dt , v = e^-jomega t-jomega .
Aplicando:
1tau [ t cdot e^-jomega t-jomega |-tau^0 - integral-tau^0 e^-jomega t-jomega dt ]
Resolvendo isso, acabamos com:
1tau [ 0 - (-tau cdot e^jomega tau-jomega) + 1 - e^jomega tau(jomega)^2 ] = e^jomega tau (jomega tau + 1) - 1(jomega)^2 tau

Passo 7

Repetimos um processo similar para a segunda integral:
I2 = integral0^tau (1 - ttau) e^-jomega t dt
Aplicando integração por partes novamente, obtemos:
I2 = 1 - e^-jomega taujomega - e^-jomega tau (jomega tau - 1) - 1(jomega)^2 tau

Passo 8

Somando I1 e I2 , temos:
X(omega) = I1 + I2 = 2 (1 - cos(omega tau))omega^2 tau^2
Simplificando usando identidades trigonométricas, obtemos:
X(omega) = 2tau^2 cdot 1 - cos(omega tau)omega^2
E reconhecendo que 1 - cos(omega tau)omega^2 é proporcional ao quadrado da função sinc, chegamos na forma final.

Resposta

A transformada de Fourier do pulso triangular é:
X(omega) = 4tau^2 cdot sin^2(omega tau2)omega^2

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