Calcule a transformada de Fourier de um pulso triangular:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício pedindo para calcular a transformada de Fourier de um pulso triangular definido por:
x(t)= 1-|t|tau & se |t|<tau 0 & se |t|>tau
Então, o que é isso? A transformada de Fourier é uma ferramenta que nos permite transformar um sinal no domínio do tempo para o domínio da frequência. Isso é muito útil para entender como diferentes frequências estão presentes no sinal. Para resolver isso, vamos precisar saber a definição da transformada de Fourier e como aplicá-la a funções que são definidas por partes, como nosso pulso triangular.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier. Para uma função x(t) , a transformada de Fourier X(omega) é dada por:
X(omega) = integral-infty^infty x(t) e^-jomega t dt
No nosso caso, como x(t) é zero fora de -tau e tau, a integral simplifica para:
X(omega) = integral-tau^tau (1 - |t|tau) e^-jomega t dt
Passo 3
Agora, vamos lidar com a parte absoluta |t|. Para facilitar, vamos dividir a integral em duas partes: de -tau a 0 e de 0 a tau.
Então:
X(omega) = integral-tau^0 (1 + ttau) e^-jomega t dt + integral0^tau (1 - ttau) e^-jomega t dt
Passo 4
Vamos resolver cada integral separadamente. Começando com a primeira:
I1 = integral-tau^0 (1 + ttau) e^-jomega t dt
Fazemos uma substituição para simplificar:
Se u = t , então du = dt .
Integrando termo a termo:
I1 = integral-tau^0 e^-jomega t dt + 1tau integral-tau^0 t e^-jomega t dt