Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Estamos lidando com equações diferenciais do primeiro grau, que envolvem derivadas de uma função desconhecida. Para resolver, vamos precisar usar substituições que simplifiquem a equação e permitam encontrar a função
em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro o que temos:
Queremos isolar
:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir uma nova variável
como a soma de
e
:
Isso significa que:
Passo 4
Substituindo
na expressão de
:
Sabemos que
, então
. Vamos substituir isso na equação:
Passo 5
Agora temos uma equação mais simples:
Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação:
As integrais são:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde
é uma nova constante de integração.
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.