Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
(x+y) y^prime=x-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial (x + y) , y' = x - y. Estamos lidando com equações diferenciais do primeiro grau, que envolvem derivadas de uma função desconhecida. Para resolver, vamos precisar usar substituições que simplifiquem a equação e permitam encontrar a função y em termos de x .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro o que temos:
(x + y) dydx = x - y
Queremos isolar dydx:
dydx = x - yx + y

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir uma nova variável z como a soma de x e y :
z = x + y
Isso significa que:
dzdx = dydx + 1

Passo 4

Substituindo dydx na expressão de dzdx:
dzdx = x - yx + y + 1
Sabemos que z = x + y , então y = z - x . Vamos substituir isso na equação:
dzdx = x - (z - x)z + 1 = 2x - zz + 1 = 2xz

Passo 5

Agora temos uma equação mais simples:
dzdx = 2xz
Vamos separar as variáveis z e x :
z , dz = 2x , dx

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação:
integral z , dz = integral 2x , dx
As integrais são:
12 z^2 = x^2 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
z^2 = 2x^2 + C'
Onde C' = 2C é uma nova constante de integração.

Passo 8

Lembrando que z = x + y , substituímos de volta:
(x + y)^2 = 2x^2 + C'
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
(x + y)^2 = 2x^2 + C
onde C é uma constante arbitrária.

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