Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e realizar substituições adequadas para simplificar a equação.
Passo 2
Vamos começar reorganizando a equação para facilitar a análise. Dividimos ambos os lados por
:
Simplificando o lado direito:
Passo 3
Observamos que a equação é homogênea, o que significa que podemos usar a substituição
. Vamos definir:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Expandindo o lado esquerdo:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
Isolamos
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, temos uma equação separável. Vamos reescrever para separar as variáveis
e
:
Passo 8
Integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde
é uma nova constante.
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.