Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
2 x y y^prime=x^2+2 y^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
2xy dydx = x^2 + 2y^2
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e realizar substituições adequadas para simplificar a equação.

Passo 2

Vamos começar reorganizando a equação para facilitar a análise. Dividimos ambos os lados por 2xy:
dydx = x^2 + 2y^22xy
Simplificando o lado direito:
dydx = x2y + yx

Passo 3

Observamos que a equação é homogênea, o que significa que podemos usar a substituição v = yx. Vamos definir:
y = vx e dydx = v + xdvdx

Passo 4

Substituímos y e dydx na equação original:
2x(vx)(v + xdvdx) = x^2 + 2(vx)^2
Simplificando:
2x^2v(v + xdvdx) = x^2 + 2v^2x^2

Passo 5

Expandindo o lado esquerdo:
2x^2v^2 + 2x^3vdvdx = x^2 + 2v^2x^2
Subtraindo x^2 + 2v^2x^2 de ambos os lados:
2x^3vdvdx - x^2 = 0

Passo 6

Isolamos dvdx:
2x^3vdvdx = x^2
Dividindo ambos os lados por 2x^3v:
dvdx = 12x v

Passo 7

Agora, temos uma equação separável. Vamos reescrever para separar as variáveis v e x:
v , dv = 12x , dx

Passo 8

Integramos ambos os lados:
integral v , dv = integral 12x , dx
Calculando as integrais:
12v^2 = 12ln|x| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
v^2 = ln|x| + K
Onde K = 2C é uma nova constante.

Passo 10

Lembrando que v = yx, substituímos de volta:
(yx)^2 = ln|x| + K
Multiplicando ambos os lados por x^2:
y^2 = x^2 (ln|x| + K)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y^2 = x^2 ( ln|x| + C )
Onde C é a constante de integração.

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