Considere os sinais abaixo. Calcule a transformada de Fourier.
e^(-1+2 j) t u1(t).

Passo 1

Beleza! A gente tem que calcular a transformada de Fourier do sinal e^(-1+2j) t u1(t) . Isso está dentro do conteúdo de Análise de Sinais, mais especificamente sobre Transformadas de Fourier. Vamos precisar usar a definição da transformada de Fourier e integrar a função considerando que o u1(t) é a função degrau unitário deslocada para t = 1 .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. A transformada de Fourier de um sinal x(t) é dada por:
X(omega) = integral-infty^+infty x(t) e^-jomega t dt
No nosso caso, x(t) = e^(-1+2j) t u1(t) . Como u1(t) é zero para t < 1 e igual a 1 para t >= 1 , a integral vai de 1 até infinito.

Passo 3

Vamos substituir x(t) na fórmula da transformada:
X(omega) = integral1^infty e^(-1+2j) t e^-jomega t dt
Agora, vamos simplificar os expoentes. Somando os expoentes das exponenciais:
(-1 + 2j) t - jomega t = (-1 + j(2 - omega)) t
Então, a integral fica:
X(omega) = integral1^infty e^(-1 + j(2 - omega)) t dt

Passo 4

Vamos calcular essa integral. A integral de e^at é e^ata , desde que Re(a) < 0 (para garantir que a integral converge). Aqui, a = -1 + j(2 - omega) e a parte real de a é -1, que é negativa, então tá tudo certo.
X(omega) = [ e^(-1 + j(2 - omega)) t-1 + j(2 - omega) ]1^infty

Passo 5

Agora, vamos avaliar os limites da integral. Quando t vai para infinito, e^(-1 + j(2 - omega)) t tende a zero porque a parte real é -1. No limite inferior, t = 1 :
X(omega) = 0 - e^(-1 + j(2 - omega)) cdot 1-1 + j(2 - omega) = e^-1 + j(2 - omega)1 - j(2 - omega)

Resposta

A transformada de Fourier do sinal e^(-1+2j) t u1(t) é:
X(omega) = e^-1 + j(2 - omega)1 - j(2 - omega)

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