Considere os sinais abaixo. Calcule a transformada de Fourier.
.
Passo 1
Beleza! A gente tem que calcular a transformada de Fourier do sinal
. Isso está dentro do conteúdo de Análise de Sinais, mais especificamente sobre Transformadas de Fourier. Vamos precisar usar a definição da transformada de Fourier e integrar a função considerando que o
é a função degrau unitário deslocada para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. A transformada de Fourier de um sinal
é dada por:
No nosso caso,
. Como
é zero para
e igual a 1 para
, a integral vai de 1 até infinito.
Passo 3
Vamos substituir
na fórmula da transformada:
Agora, vamos simplificar os expoentes. Somando os expoentes das exponenciais:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos calcular essa integral. A integral de
é
, desde que
(para garantir que a integral converge). Aqui,
e a parte real de
é -1, que é negativa, então tá tudo certo.
Passo 5
Agora, vamos avaliar os limites da integral. Quando
vai para infinito,
tende a zero porque a parte real é -1. No limite inferior,
:
Resposta
A transformada de Fourier do sinal
é: