Calcule a transformada de Fourier das seguintes funções:
f(t)= e^-t cos (t), & t>0 0, & t<0
Resp: tildef(omega)=12[11-i+i omega+11+i+i omega]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função
f(t)= e^-tcos t, & t>0, 0, & t<0
O conteúdo é transformada de Fourier de uma função causal (suportada em t>=0). Vamos usar a definição
tilde f(omega)=integral-infty^inftyf(t)e^-iomega t,dt
e o fato de que f(t)=0 para t<0.

Passo 2

Pela causalidade, a integral reduz-se a
tilde f(omega)=integral0^inftye^-tcos t;e^-iomega t,dt
Aqui precisamos combinar o decaimento exponencial com o termo oscilatório e usar a convergência garantida por Re(1pm i+iomega)>0.

Passo 3

Escrevemos cos t como soma de exponenciais:
cos t=e^i t+e^-i t2
Logo o integrando fica
e^-tcos t,e^-iomega t =12l(e^-te^i te^-iomega t+e^-te^-i te^-iomega tr) =12l(e^-t(1 - i + iomega)+e^-t(1 + i + iomega)r)

Passo 4

Agora basta usar
integral0^inftye^-alpha t,dt=1alpha, Re(alpha)>0
Para alpha1=1 - i + iomega e alpha2=1 + i + iomega obtemos
tilde f(omega) =12[1alpha1+1alpha2] =12[11 - i + iomega+11 + i + iomega]

Resposta

tilde f(omega) =12l[11 - i + iomega+11 + i + iomegar]

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