Calcule a transformada de Fourier das seguintes funções:
f(t)=sin t cos t Resp: tildef(omega)=i pi2[de<a(omega+2)-de<a(omega-2)]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de
f(t)=sin t ,cos t
Estamos trabalhando com o conceito de transformada de Fourier no sentido
Ff(omega)=integral-infty^inftyf(t),e^-iomega t,dt
Para resolver, vamos usar duas ideias principais: a identidade trigonométrica que transforma produto de seno e cosseno em seno de ângulo duplo e depois a propriedade padrão da transformada de sin(at).

Passo 2

Usamos a identidade produto-para-soma:
sin tcos t=tfrac12sin(2t)
Logo podemos reescrever
f(t)=tfrac12,sin(2t)

Passo 3

Sabemos que, em termos de distribuições,
Fsin(at)(omega) =-,ipil[de<a(omega-a)-de<a(omega+a)r]
Substituindo a=2, obtemos
Fsin(2t)(omega) =-,ipil[de<a(omega-2)-de<a(omega+2)r]

Passo 4

Pela linearidade e pela constante fora da integral, multiplicamos por tfrac12:
Fltfrac12,sin(2t)r(omega) =tfrac12;Fsin(2t)(omega) =tfrac12l[-,ipi(de<a(omega-2)-de<a(omega+2))r]
Reordenando o sinal, isso fica
tilde f(omega) =ipi2l[de<a(omega+2)-de<a(omega-2)r]

Resposta

tilde f(omega) =ipi2l[de<a(omega+2)-de<a(omega-2)r]

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