Calcule a transformada de Fourier das seguintes funções:
f(t)=e^-t^2 cos t Resp: tildef(omega)=raizpi2[e^-(omega-1)^2 / 4+e^-(omega+1)^2 / 4]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função f(t)=e^-t^2cos t. Vamos usar a definição
tilde f(omega)=integral-infty^inftyf(t),e^-iomega t,dt
e propriedades básicas: a representação de cos t pela fórmula de Euler e o teorema de deslocamento em frequência.

Passo 2

Usamos a representação de Euler para o cosseno:
cos t = e^i t+e^-i t2,
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f(t),cos t = e^-t^2cos t = 12l(e^-t^2e^i t+e^-t^2e^-i tr)

Passo 3

Pela propriedade de deslocamento em frequência, se g(t)xrightarrowFG(omega) então
g(t)e^i a txrightarrowFG(omega - a)
Aplicando a cada termo obtemos
Fe^-t^2e^i t = G(omega-1), Fe^-t^2e^-i t = G(omega+1),
onde G(omega) é a transformada de g(t)=e^-t^2.

Passo 4

É clássico que a transformada de
g(t)=e^-t^2
é
G(omega) =integral-infty^infty e^-t^2e^-iomega t,dt =raizpi,e^-omega^2/4

Passo 5

Voltando a f(t)cos t e juntando tudo:
tilde f(omega) =12l[G(omega-1)+G(omega+1)r] =12l[raizpi,e^-(omega-1)^2/4 +raizpi,e^-(omega+1)^2/4r]

Resposta

tilde f(omega) =raizpi2l[e^-(omega-1)^2/4+e^-(omega+1)^2/4r]

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