Demonstre que
onde
denota a transformada de Fourier, isto é,
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a propriedade de “translação no tempo” da transformada de Fourier, ou seja, que ao deslocar a função
em
no eixo
, sua transformada sofre apenas a multiplicação por um fator exponencial. Vamos usar a definição da transformada de Fourier e uma simples mudança de variável em integral imprópria.
Passo 2
Adotando a convenção
temos
Passo 3
Fazemos a mudança de variável
Como
varre de
a
, o mesmo vale para
. Logo,
Passo 4
O fator
não depende de
e sai da integral, que fica exatamente igual à definidora de
. Assim