Demonstre que
Ff(t+a)=e^-a omega Ff(t)
onde F denota a transformada de Fourier, isto é, Ff(t)=tildef(omega).

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade de “translação no tempo” da transformada de Fourier, ou seja, que ao deslocar a função f(t) em +a no eixo t, sua transformada sofre apenas a multiplicação por um fator exponencial. Vamos usar a definição da transformada de Fourier e uma simples mudança de variável em integral imprópria.

Passo 2

Adotando a convenção
Ff(t)(omega);=;tilde f(omega) ;=;integral-infty^inftyf(t),e^-iomega t,dt,
temos
Ff(t+a)(omega) =integral-infty^inftyf(t+a),e^-iomega t,dt

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u = t + a, t = u - a, dt = du
Como t varre de -infty a +infty, o mesmo vale para u. Logo,
Ff(t+a)(omega) =integral-infty^inftyf(u),e^-iomega,(u - a),du =integral-infty^inftyf(u),e^-iomega u,e^,iomega a,du

Passo 4

O fator e^,iomega a não depende de u e sai da integral, que fica exatamente igual à definidora de tilde f(omega). Assim
Ff(t+a)(omega) = e^,iomega a,integral-infty^inftyf(u),e^-iomega u,du = e^,iomega a,tilde f(omega)

Resposta

boxed Ff(t+a)(omega)=e^,iomega a,Ff(t)(omega)

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