Para um sólido esférico homogêneo com difusibilidade térmica constante
, e nenhuma fonte de calor, a equação de condução de calor se torna
Admita uma solução da forma
e separe as variáveis. Mostre que a equação radial pode assumir a forma padrão
As soluções dessa equação são denominadas funções esféricas de Bessel.
Questão 01: Condutividade térmica
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de difusão de calor para um sólido esférico homogêneo sem fontes:
O objetivo é separar variáveis assumindo uma dependência temporal e espacial, usar coordenadas esféricas e obter a parte radial na forma
onde
é um inteiro e
é a constante de separação (relacionada ao modo de difusão).
Passo 2
Escrevemos o laplaciano em coordenadas esféricas para uma função
:
Passo 3
Assumimos a separação completa em tempo, parte radial e parte angular:
Substituindo na PDE e dividindo por
, obtemos
Como o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
, igualamos ambos a uma constante de separação
:
onde
é o laplaciano sobre a esfera unitária.
Passo 4
Separando a parte angular definimos o autovalor de
:
com
. Substituindo isso na parte radial,
Multiplicando por
e escrevendo
, fica
Resposta
Mostramos que a equação radial pode ser escrita como
cuja solução são as funções esféricas de Bessel.