Para um sólido esférico homogêneo com difusibilidade térmica constante K, e nenhuma fonte de calor, a equação de condução de calor se torna
partial T(r, t)partial t=K nabla^2 T(r, t)
Admita uma solução da forma
T=R(r) T(t)
e separe as variáveis. Mostre que a equação radial pode assumir a forma padrão
r^2 d^2 Rd r^2+2 r d Rd r+[alpha^2 r^2-n(n+1)] R=0 ; n= inteiro
As soluções dessa equação são denominadas funções esféricas de Bessel.

Questão 01: Condutividade térmica

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de difusão de calor para um sólido esférico homogêneo sem fontes:
partial T(r,t)partial t=K,nabla^2T(r,t)
O objetivo é separar variáveis assumindo uma dependência temporal e espacial, usar coordenadas esféricas e obter a parte radial na forma
r^2,d^2Rdr^2+2r,dRdr+l[alpha^2r^2-n(n+1)r]R=0,
onde n é um inteiro e alpha^2 é a constante de separação (relacionada ao modo de difusão).

Passo 2

Escrevemos o laplaciano em coordenadas esféricas para uma função T(r,theta,phi,t):
nabla^2T =1r^2partialpartial r!l(r^2partial Tpartial rr) +1r^2sinthetapartialpartial theta!l(sintheta,partial Tpartial thetar) +1r^2sin^2thetapartial^2Tpartial phi^2

Passo 3

Assumimos a separação completa em tempo, parte radial e parte angular:
T(r,theta,phi,t)=R(r),Y(theta,phi),F(t)
Substituindo na PDE e dividindo por K,R,Y,F, obtemos
1K,F,dFdt =1R,r^2ddr!l(r^2,R'r) +1Y,r^2gl[1sinthetapartialpartial thetal(sintheta,Ythetar) +1sin^2thetaYphiphigr]
Como o lado esquerdo depende só de t e o direito só de (r,theta,phi), igualamos ambos a uma constante de separação -lambda:
1K,FdFdt=-lambda, 1R,r^2ddrl(r^2R'r) +1Y,r^2nablaOmega^2Y=-lambda,
onde nablaOmega^2 é o laplaciano sobre a esfera unitária.

Passo 4

Separando a parte angular definimos o autovalor de nablaOmega^2:
nablaOmega^2Y+n(n+1),Y=0,
com ninZ. Substituindo isso na parte radial,
1r^2ddrl(r^2R'r) -n(n+1)r^2R+lambda,R=0
Multiplicando por r^2 e escrevendo alpha^2=lambda, fica
r^2R''+2rR'+l[alpha^2r^2-n(n+1)r]R=0

Resposta

Mostramos que a equação radial pode ser escrita como
r^2d^2Rdr^2+2rdRdr+l[alpha^2r^2-n(n+1)r]R=0,
cuja solução são as funções esféricas de Bessel.

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