Determine as funções temporais correspondentes às seguintes Transformadas de Fourier:
d)
e
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar as funções temporais correspondentes a uma Transformada de Fourier específica. Estamos lidando com conceitos de Transformada de Fourier, que é uma ferramenta fundamental na análise de sinais no domínio da frequência. Para resolver, vamos precisar entender como a magnitude e a fase da Transformada de Fourier se relacionam com a função no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que nos foi dado:
A magnitude da Transformada de Fourier é:
E o ângulo (fase) da Transformada de Fourier é:
Aqui,
representa a função degrau unitário, que vale 0 para
e 1 para
.
Passo 3
Vamos começar analisando a magnitude $ |F(j\omega)| $. A expressão
descreve uma janela de frequência onde a magnitude é constante. Vamos simplificar isso:
-
é o degrau unitário deslocado para a esquerda em 3 unidades, ou seja, liga em . -
é o degrau unitário deslocado para a direita em 3 unidades, ou seja, liga em .
Então,
cria uma janela onde a magnitude é 1 entre
e
, e 0 fora desse intervalo. Multiplicando por 2, temos:
Isso significa que a Transformada de Fourier tem uma banda de frequência limitada entre -3 e 3 rad/s, com magnitude constante de 2 nessa faixa.
Passo 4
Agora, vamos considerar a fase
. Isso indica que a Transformada de Fourier tem um termo de fase linear em
. Na transformada inversa, a presença de uma fase linear
está relacionada a um deslocamento no tempo.
Lembrando que no domínio da frequência, multiplicar por
corresponde a um deslocamento no tempo
no domínio do tempo, ou seja:
No nosso caso, temos apenas a fase
, o que sugere um deslocamento no tempo.
Passo 5
Vamos agora combinar a magnitude e a fase para expressar
:
Agora, para encontrar a função no domínio do tempo
, aplicamos a Transformada de Fourier inversa:
Substituindo
:
Passo 6
Observamos que a expressão dentro da Transformada inversa pode ser escrita como:
A Transformada inversa de um produto no domínio da frequência corresponde à convolução no domínio do tempo. No entanto, podemos identificar que
representa um deslocamento no tempo.
Sabemos que:
No nosso caso,
, pois
corresponde a um deslocamento de 1 unidade no tempo.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a Transformada inversa de:
Isso é uma janela retangular na frequência de -3 a 3 rad/s com altura 2. A Transformada inversa de uma janela retangular no domínio da frequência é uma função do tipo sinc no domínio do tempo.
Lembrando que:
Onde
.
No nosso caso,
e
, então:
Passo 8
Considerando o deslocamento no tempo que identificamos anteriormente (
), a função no domínio do tempo será:
Portanto, a função temporal correspondente é uma função sinc deslocada em 1 unidade no tempo e com amplitude ajustada.
Resposta
A função temporal correspondente é:
Onde
.