Determine as funções temporais correspondentes às seguintes Transformadas de Fourier:
d) |F(j w)|=2[1(w+3)-1(w-3)] e ang<= F(j w)=-w

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar as funções temporais correspondentes a uma Transformada de Fourier específica. Estamos lidando com conceitos de Transformada de Fourier, que é uma ferramenta fundamental na análise de sinais no domínio da frequência. Para resolver, vamos precisar entender como a magnitude e a fase da Transformada de Fourier se relacionam com a função no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que nos foi dado:
A magnitude da Transformada de Fourier é:
|F(jomega)| = 2[1(omega + 3) - 1(omega - 3)]
E o ângulo (fase) da Transformada de Fourier é:
ang<= F(jomega) = -omega
Aqui, 1(omega) representa a função degrau unitário, que vale 0 para omega < 0 e 1 para omega >= 0.

Passo 3

Vamos começar analisando a magnitude $ |F(j\omega)| $. A expressão |F(jomega)| descreve uma janela de frequência onde a magnitude é constante. Vamos simplificar isso:
  • 2[1(omega + 3) - 1(omega - 3)] é o degrau unitário deslocado para a esquerda em 3 unidades, ou seja, liga em 1(omega + 3).
  • omega = -3 é o degrau unitário deslocado para a direita em 3 unidades, ou seja, liga em 1(omega - 3).
Então, omega = 3 cria uma janela onde a magnitude é 1 entre 1(omega + 3) - 1(omega - 3) e omega = -3, e 0 fora desse intervalo. Multiplicando por 2, temos:
omega = 3á
Isso significa que a Transformada de Fourier tem uma banda de frequência limitada entre -3 e 3 rad/s, com magnitude constante de 2 nessa faixa.

Passo 4

Agora, vamos considerar a fase ang<= F(jomega) = -omega. Isso indica que a Transformada de Fourier tem um termo de fase linear em omega. Na transformada inversa, a presença de uma fase linear -omega está relacionada a um deslocamento no tempo.
Lembrando que no domínio da frequência, multiplicar por e^-jomega t0 corresponde a um deslocamento no tempo t0 no domínio do tempo, ou seja:
F^-1F(jomega)e^-jomega t0 = f(t - t0)
No nosso caso, temos apenas a fase -omega, o que sugere um deslocamento no tempo.

Passo 5

Vamos agora combinar a magnitude e a fase para expressar F(jomega):
F(jomega) = |F(jomega)| e^jang<= F(jomega) = 2[1(omega + 3) - 1(omega - 3)] e^-jomega
Agora, para encontrar a função no domínio do tempo f(t), aplicamos a Transformada de Fourier inversa:
f(t) = F^-1F(jomega)
Substituindo F(jomega):
f(t) = F^-12[1(omega + 3) - 1(omega - 3)] e^-jomega

Passo 6

Observamos que a expressão dentro da Transformada inversa pode ser escrita como:
2[1(omega + 3) - 1(omega - 3)] e^-jomega = 2 e^-jomega [1(omega + 3) - 1(omega - 3)]
A Transformada inversa de um produto no domínio da frequência corresponde à convolução no domínio do tempo. No entanto, podemos identificar que e^-jomega representa um deslocamento no tempo.
Sabemos que:
F^-1e^-jomega t0 F(jomega) = f(t - t0)
No nosso caso, t0 = 1, pois e^-jomega corresponde a um deslocamento de 1 unidade no tempo.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a Transformada inversa de:
2[1(omega + 3) - 1(omega - 3)]
Isso é uma janela retangular na frequência de -3 a 3 rad/s com altura 2. A Transformada inversa de uma janela retangular no domínio da frequência é uma função do tipo sinc no domínio do tempo.
Lembrando que:
F^-1A [1(omega + a) - 1(omega - a)] = 2A cdot sin(a t)pi t cdot e^j0 t = 2A cdot sinc(a t)
Onde sinc(x) = sin(pi x)pi x.
No nosso caso, A = 1 e a = 3, então:
F^-12[1(omega + 3) - 1(omega - 3)] = 4 cdot sinc(3 t)

Passo 8

Considerando o deslocamento no tempo que identificamos anteriormente ( t0 = 1), a função no domínio do tempo será:
f(t) = 4 cdot sinc(3 (t - 1))
Portanto, a função temporal correspondente é uma função sinc deslocada em 1 unidade no tempo e com amplitude ajustada.

Resposta

A função temporal correspondente é:
f(t) = 4 cdot sinc(3(t - 1))
Onde sinc(x) = sin(pi x)pi x.

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