Determine as funções temporais correspondentes às seguintes Transformadas de Fourier:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a função no tempo correspondente à Transformada de Fourier dada por $ F(j \omega) = \cos(4 \omega + \pi / 3) $. Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de Transformadas de Fourier e vamos precisar lembrar como fazer a transformada inversa para voltar do domínio da frequência para o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a função no tempo $ f(t) $ a partir da Transformada de Fourier $ F(j \omega) $, usamos a fórmula da transformada inversa:
Nosso objetivo é aplicar essa fórmula para a $ F(j \omega) $ dada.
Passo 3
Vamos reescrever $ F(j \omega) = \cos(4 \omega + \pi / 3) $ usando a identidade trigonométrica da soma de ângulos:
Aplicando isso, temos:
Passo 4
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $ e $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, então substituindo esses valores:
Passo 5
Agora, vamos lembrar que as funções $ \cos(a \omega) $ e $ \sin(a \omega) $ na Transformada de Fourier correspondem a combinações de funções delta de Dirac:
Onde $ \delta(t) $ é a função delta de Dirac.
Passo 6
Aplicando essas propriedades à nossa expressão, temos:
Simplificando os termos:
Passo 7
Como estamos trabalhando com funções reais no tempo, a parte imaginária deve ser nula. Portanto, a função no tempo simplifica para:
Resposta
A função temporal correspondente é: