Determine as funções temporais correspondentes às seguintes Transformadas de Fourier:
b) F(j w)=cos (4 w+pi / 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a função no tempo correspondente à Transformada de Fourier dada por $ F(j \omega) = \cos(4 \omega + \pi / 3) $. Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de Transformadas de Fourier e vamos precisar lembrar como fazer a transformada inversa para voltar do domínio da frequência para o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a função no tempo $ f(t) $ a partir da Transformada de Fourier $ F(j \omega) $, usamos a fórmula da transformada inversa:
f(t)
Nosso objetivo é aplicar essa fórmula para a $ F(j \omega) $ dada.

Passo 3

Vamos reescrever $ F(j \omega) = \cos(4 \omega + \pi / 3) $ usando a identidade trigonométrica da soma de ângulos:
F(j omega) = cos(4 omega + pi / 3)
Aplicando isso, temos:
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b

Passo 4

Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $ e $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, então substituindo esses valores:
cos(pi3) = 12

Passo 5

Agora, vamos lembrar que as funções $ \cos(a \omega) $ e $ \sin(a \omega) $ na Transformada de Fourier correspondem a combinações de funções delta de Dirac:
cos(a omega)
sin(a omega)
Onde $ \delta(t) $ é a função delta de Dirac.

Passo 6

Aplicando essas propriedades à nossa expressão, temos:
f(t) = 12pi [ 12 cdot pi [de
Simplificando os termos:
f(t) = 14 [de

Passo 7

Como estamos trabalhando com funções reais no tempo, a parte imaginária deve ser nula. Portanto, a função no tempo simplifica para:
f(t) = 14 [de

Resposta

A função temporal correspondente é:
f(t) = 14 de

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