Expanda em série de Fourier na forma complexa as funções a seguir. Nota-se que estas expressões representam as funções periódicas em um único período.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão quer que a gente expanda, em série de Fourier na forma complexa, a função $ f(t) = 1 - \sin\left(\frac{\pi t}{4}\right) $ para $ 0 \leq t \leq 3 $. Isso envolve entender um pouco sobre séries de Fourier, que são maneiras de representar funções periódicas como somas de senos e cossenos (ou exponenciais complexas). Vamos precisar identificar o período da função e calcular os coeficientes necessários para a expansão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. A função está definida no intervalo de $ 0 $ a $ 3 $, e como é periódica, o período $ T $ é $ 3 $. O período é importante porque determina a frequência fundamental da série de Fourier.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a série de Fourier na forma complexa é dada por:
onde $ \omega_0 = \frac{2\pi}{T} $ é a frequência angular fundamental, e $ C_n $ são os coeficientes da série que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos calcular $ \omega_0 $:
Então, a série de Fourier fica:
Passo 5
Para encontrar os coeficientes $ C_n $, usamos a fórmula:
Substituindo $ T = 3 $ e $ \omega_0 = \frac{2\pi}{3} $:
Passo 6
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 7
Primeiro, calculamos a integral de $ 1 \cdot e^{-j n \frac{2\pi}{3} t} $:
Sabemos que $ e^{-j 2\pi n} = 1 $, então essa parte da integral será zero.
Passo 8
Agora, calculamos a segunda integral: $ \int_{0}^{3} \sin\left(\frac{\pi t}{4}\right) e^{-j n \frac{2\pi}{3} t} dt $.
Vamos usar a identidade de Euler para o seno:
Aplicando isso:
Substituindo na integral:
Passo 9
Vamos calcular cada uma das integrais:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:
Passo 10
Substituindo essas expressões de volta na equação dos coeficientes $ C_n $:
Simplificando:
Passo 11
Agora, reconhecemos que $ e^{-j 2\pi n} = 1 $ e $ e^{j 2\pi n} = 1 $ para qualquer inteiro $ n $, então as exponenciais simplificam:
Passo 12
Finalmente, simplificamos os termos e expressamos $ C_n $ de forma mais compacta. Note que esses coeficientes podem ser calculados para cada $ n $ específico, construindo assim a série de Fourier complexa da função dada.
Resposta
A expansão em série de Fourier na forma complexa da função $ f(t) = 1 - \sin\left(\frac{\pi t}{4}\right) $ para $ 0 \leq t \leq 3 $ é dada por:
onde os coeficientes $ C_n $ são calculados por:
Esses coeficientes permitem representar a função original como uma soma infinita de exponenciais complexas, capturando sua periodicidade e comportamento.