Expanda em série de Fourier na forma complexa as funções a seguir. Nota-se que estas expressões representam as funções periódicas em um único período.
b) f(t)=1-sin (pi t / 4), para 0 <= t <= 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão quer que a gente expanda, em série de Fourier na forma complexa, a função $ f(t) = 1 - \sin\left(\frac{\pi t}{4}\right) $ para $ 0 \leq t \leq 3 $. Isso envolve entender um pouco sobre séries de Fourier, que são maneiras de representar funções periódicas como somas de senos e cossenos (ou exponenciais complexas). Vamos precisar identificar o período da função e calcular os coeficientes necessários para a expansão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. A função está definida no intervalo de $ 0 $ a $ 3 $, e como é periódica, o período $ T $ é $ 3 $. O período é importante porque determina a frequência fundamental da série de Fourier.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a série de Fourier na forma complexa é dada por:
f(t) = sumn=-infty^infty Cn e^j n omega0 t
onde $ \omega_0 = \frac{2\pi}{T} $ é a frequência angular fundamental, e $ C_n $ são os coeficientes da série que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos calcular $ \omega_0 $:
omega0
Então, a série de Fourier fica:
omega0 = 2piT = 2pi3

Passo 5

Para encontrar os coeficientes $ C_n $, usamos a fórmula:
Cn
Substituindo $ T = 3 $ e $ \omega_0 = \frac{2\pi}{3} $:
Cn = 1T integral0^T f(t) e^-j n omega0 t dt

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes:
Cn = 13 [ integral0^3 1 cdot e^-j n 2pi3 t dt - integral0^3 sin(pi t4) e^-j n 2pi3 t dt ]

Passo 7

Primeiro, calculamos a integral de $ 1 \cdot e^{-j n \frac{2\pi}{3} t} $:
1 cdot e^-j n 2pi3 t
Sabemos que $ e^{-j 2\pi n} = 1 $, então essa parte da integral será zero.

Passo 8

Agora, calculamos a segunda integral: $ \int_{0}^{3} \sin\left(\frac{\pi t}{4}\right) e^{-j n \frac{2\pi}{3} t} dt $.
Vamos usar a identidade de Euler para o seno:
integral0^3 sin(pi t4) e^-j n 2pi3 t dt
Aplicando isso:
sin(x) = e^j x - e^-j x2j
Substituindo na integral:
sin(pi t4) = e^j pi t4 - e^-j pi t42j

Passo 9

Vamos calcular cada uma das integrais:
Para a primeira integral:
integral0^3 e^j (pi4 - n 2pi3) t dt = e^j (pi4 - n 2pi3) 3 - 1j (pi4 - n 2pi3)
Para a segunda integral:
integral0^3 e^-j (pi4 + n 2pi3) t dt = e^-j (pi4 + n 2pi3) 3 - 1-j (pi4 + n 2pi3)

Passo 10

Substituindo essas expressões de volta na equação dos coeficientes $ C_n $:
Cn
Simplificando:
Cn = -13 cdot 12j [ e^j (pi4 - n 2pi3) 3 - 1j (pi4 - n 2pi3) - e^-j (pi4 + n 2pi3) 3 - 1j (pi4 + n 2pi3) ]

Passo 11

Agora, reconhecemos que $ e^{-j 2\pi n} = 1 $ e $ e^{j 2\pi n} = 1 $ para qualquer inteiro $ n $, então as exponenciais simplificam:
e^-j 2pi n = 1

Passo 12

Finalmente, simplificamos os termos e expressamos $ C_n $ de forma mais compacta. Note que esses coeficientes podem ser calculados para cada $ n $ específico, construindo assim a série de Fourier complexa da função dada.

Resposta

A expansão em série de Fourier na forma complexa da função $ f(t) = 1 - \sin\left(\frac{\pi t}{4}\right) $ para $ 0 \leq t \leq 3 $ é dada por:
f(t) = 1 - sin(pi t4)
onde os coeficientes $ C_n $ são calculados por:
0 <= t <= 3
Esses coeficientes permitem representar a função original como uma soma infinita de exponenciais complexas, capturando sua periodicidade e comportamento.

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