Calcule a Transformada de Fourier das seguintes funções, utilizando a sua definição e suas propriedades:
a)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a Transformada de Fourier da função $ f(t) = e^{-(t-1)} , 1(t-1) $. Estamos lidando com o conteúdo de Transformada de Fourier, que é uma ferramenta usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Fourier e algumas propriedades dela, como o deslocamento no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Fourier. Ela é dada por:
No nosso caso, a função $ f(t) $ é $ e^{-(t-1)} , 1(t-1) $, onde $ 1(t-1) $ é a função degrau de Heaviside, que é 0 para $ t < 1 $ e 1 para $ t \geq 1 $. Isso significa que a função $ f(t) $ é zero antes de $ t = 1 $.
Passo 3
Como a função é zero para $ t < 1 $, a integral da Transformada de Fourier começa a partir de $ t = 1 $:
Podemos simplificar a expressão $ e^{-(t-1)} $ para $ e^{-t+1} = e^{1} \cdot e^{-t} = e \cdot e^{-t} $. Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral:
Essa é uma integral básica de exponencial. A antiderivada de $ e^{-at} $ é $ \frac{e^{-at}}{-a} $, onde $ a = 1 + j\omega $. Então:
Aplicando os limites de integração de 1 a $ +\infty $:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão para $ F(\omega) $:
Resposta
A Transformada de Fourier da função $ f(t) = e^{-(t-1)} , 1(t-1) $ é: