Expanda em série de Fourier na forma complexa as funções a seguir. Nota-se que estas expressões representam as funções periódicas em um único período.
d) , para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de série de Fourier na forma complexa! O que a gente precisa fazer é expandir a função $ f(t) = t $ em uma série de Fourier complexa, considerando que essa função é periódica com período 2 (já que está definida de a ). Então, vamos usar conceitos de séries de Fourier e funções periódicas para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier complexa para uma função periódica $ f(t) $ pode ser escrita como:
Aqui, $ C_n $ são os coeficientes de Fourier que precisamos encontrar, e $ i $ é a unidade imaginária.
Passo 3
Para achar os coeficientes $ C_n $, usamos a fórmula:
No nosso caso, $ f(t) = t $, então substituímos na integral:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. Usando a integração por partes, onde tomamos $ u = t $ e $ dv = e^{-i n \pi t} dt $, temos:
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
Passo 5
Calculando os limites:
t cdot e^-i n pi t-i n pi |-1^1 = 1 cdot e^-i n pi-i n pi - (-1) cdot e^i n pi-i n pi = e^-i n pi + e^i n pi-i n pi
E a integral restante:
integral-1^1 e^-i n pi t-i n pi dt = 1(-i n pi)^2 [ e^-i n pi t ]-1^1 = e^-i n pi - e^i n pi(-i n pi)^2
Passo 6
Simplificando as expressões usando as identidades de Euler:
e^-i n pi + e^i n pi = 2 cos(n pi)
e^-i n pi - e^i n pi = -2i sin(n pi)
Substituindo de volta:
Cn = 12 [ 2 cos(n pi)-i n pi - -2i sin(n pi)(-i n pi)^2 ] = 12 ( 2 cos(n pi)-i n pi - 2 sin(n pi)n^2 pi^2 )
Passo 7
Sabendo que $ \cos(n \pi) = (-1)^n $ e $ \sin(n \pi) = 0 $, a expressão simplifica para:
cos(n pi) = (-1)^n
Resposta
A série de Fourier complexa da função $ f(t) = t $ no intervalo f(t) = t é dada por: