Calcule a Transformada de Fourier das seguintes funções, utilizando a sua definição e suas propriedades:
f) f(t)=e^-3 t sin (2 t) l(t)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a Transformada de Fourier da função $ f(t) = e^{-3t} \sin(2t) u(t) $. Aqui, estamos trabalhando com Transformadas de Fourier, uma ferramenta essencial para analisar sinais no domínio da frequência. Para resolver isso, vamos usar a definição da Transformada de Fourier e algumas propriedades básicas, como a linearidade e as transformadas conhecidas de funções exponenciais e senos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Fourier. Para uma função $ f(t) $, a Transformada de Fourier é dada por:
f(t)
No nosso caso, a função é $ f(t) = e^{-3t} \sin(2t) u(t) $. O $ u(t) $ é a função degrau, que é igual a 0 para $ t < 0 $ e 1 para $ t \geq 0 $. Isso significa que a integral vai de 0 a $ +\infty $.

Passo 3

Vamos usar a identidade que relaciona o seno com expoentes complexos, que é:
sin(2t) = e^j2t - e^-j2t2j
Substituindo isso na nossa função $ f(t) $, temos:
f(t)
Isso simplifica para:
f(t) = e^-3t cdot e^j2t - e^-j2t2j cdot u(t)

Passo 4

Agora, aplicamos a Transformada de Fourier a cada termo separadamente. Sabemos que:
Fe^at u(t) = 1a + jomega, para Re(a) > 0
Aplicando isso aos nossos termos:
Fe^(-3 + j2)t u(t) = 1-3 + j2 + jomega = 1-3 + j(omega + 2)
Fe^(-3 - j2)t u(t) = 1-3 - j2 + jomega = 1-3 + j(omega - 2)

Passo 5

Substituindo essas transformadas de volta na expressão de $ \mathcal{F}{f(t)} $:
Ff(t)
Simplificando a expressão:
Ff(t) = 12j ( 1-3 + j(omega + 2) - 1-3 + j(omega - 2) )
O numerador simplifica para $ 4j $:
Ff(t) = 12j ( -3 - j(omega - 2) + 3 + j(omega + 2)(-3 + j(omega + 2))(-3 + j(omega - 2)) )

Resposta

A Transformada de Fourier da função $ f(t) = e^{-3t} \sin(2t) u(t) $ é:
f(t) = e^-3t sin(2t) u(t)

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