Calcule a Transformada de Fourier das seguintes funções, utilizando a sua definição e suas propriedades:
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a Transformada de Fourier da função $ f(t) = e^{-3t} \sin(2t) u(t) $. Aqui, estamos trabalhando com Transformadas de Fourier, uma ferramenta essencial para analisar sinais no domínio da frequência. Para resolver isso, vamos usar a definição da Transformada de Fourier e algumas propriedades básicas, como a linearidade e as transformadas conhecidas de funções exponenciais e senos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Fourier. Para uma função $ f(t) $, a Transformada de Fourier é dada por:
No nosso caso, a função é $ f(t) = e^{-3t} \sin(2t) u(t) $. O $ u(t) $ é a função degrau, que é igual a 0 para $ t < 0 $ e 1 para $ t \geq 0 $. Isso significa que a integral vai de 0 a $ +\infty $.
Passo 3
Vamos usar a identidade que relaciona o seno com expoentes complexos, que é:
Substituindo isso na nossa função $ f(t) $, temos:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, aplicamos a Transformada de Fourier a cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
Passo 5
Substituindo essas transformadas de volta na expressão de $ \mathcal{F}{f(t)} $:
Simplificando a expressão:
O numerador simplifica para $ 4j $:
Resposta
A Transformada de Fourier da função $ f(t) = e^{-3t} \sin(2t) u(t) $ é: