Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais:
f(t)=cos (2 piT t)[u(t+T)-u(t-T)]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de
f(t)=cos!l(tfrac2piTtr),l[u(t+T)-u(t-T)r]
Aqui estamos multiplicando uma janela retangular de duração 2T (pois u(t+T)-u(t-T) vale 1 em -T<= t<= T) por um cosseno de frequência angular Omega0 = tfrac2piT. Para resolver, vamos usar dois fatos importantes:
  1. A transformada da janela retangular
g(t)=u(t+T)-u(t-T)
é
G(omega)=integral-T^Te^-jomega t,dt = 2sin(omega T)omega
  1. O teorema da modulação em frequência: multiplicar em tempo por cos(Omega0 t) equivale, no domínio de frequência, a deslocar G(omega) para omegapmOmega0 e somar, com fator 1/2.

Passo 2

Calcular G(omega) diretamente:
G(omega)=integral-T^Te^-jomega t,dt =l[e^-jomega t-jomegar]-T^T =e^-jomega T-e^jomega T-jomega =2sin(omega T)omega

Passo 3

Expressão da modulação:
cos(Omega0 t) =e^jOmega0 t+e^-jOmega0 t2,
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f(t)=12,g(t)e^jOmega0 t +12,g(t)e^-jOmega0 t
Pela propriedade de deslocamento na frequência, a transformada é
F(omega) =12,G(omega-Omega0) +12,G(omega+Omega0)

Passo 4

Substituindo G em cada termo com Omega0=tfrac2piT:
F(omega) =12,2sinl[(omega-Omega0)Tr]omega-Omega0 +12,2sinl[(omega+Omega0)Tr]omega+Omega0
implies F(omega) =sinl[(omega-tfrac2piT)Tr]omega-tfrac2piT +sinl[(omega+tfrac2piT)Tr]omega+tfrac2piT

Resposta

F(omega) =sinl[(omega-tfrac2piT)Tr]omega-tfrac2piT +sinl[(omega+tfrac2piT)Tr]omega+tfrac2piT

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