Seja . Seja
Calcule:

Passo 1

O enunciado define uma função contínua f:RtoR com f(3)=4 e uma função
g(x,y,z)=integral0^,x+y^2+z^4f(t),dt
Queremos calcular a derivada parcial partial gpartial z(1,1,1). O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo (derivada de integral com limite variável) combinado com a regra da cadeia em variáveis múltiplas.

Passo 2

Definimos a função auxiliar
F(u)=integral0^uf(t),dt
Então podemos reescrever
g(x,y,z)=Fl(h(x,y,z)r), onde h(x,y,z)=x+y^2+z^4

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos F'(u)=f(u). Aplicando a regra da cadeia em três variáveis,
partial gpartial z(x,y,z) =F'l(h(x,y,z)r),partial hpartial z(x,y,z) =fl(h(x,y,z)r)cdotpartialpartial zl(x+y^2+z^4r)
Como partialpartial z(x+y^2+z^4)=4z^3, obtemos
partial gpartial z(x,y,z) = fl(x+y^2+z^4r),4z^3

Passo 4

Agora avaliamos em (x,y,z)=(1,1,1). Nesse ponto
h(1,1,1)=1+1^2+1^4=3,
logo f(h(1,1,1))=f(3)=4 e 4z^3=4cdot1^3=4. Substituindo,
partial gpartial z(1,1,1) =4cdot4=16

Resposta

16

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