Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais:
f(t)=u(t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier do sinal f(t)=u(t), onde u(t) é a função degrau unitário. O conteúdo aqui envolve definição de transformada de Fourier em sentido de distribuições e uso de regularização para garantir convergência.

Passo 2

Começamos lembrando a definição da transformada de Fourier:
F(omega)=integral-infty^inftyf(t),e^-jomega t,dt
No nosso caso, f(t)=u(t) e a integral direta
integral0^inftye^-jomega t,dt
não converge em sentido clássico, então introduzimos um fator de amortecimento.

Passo 3

Consideramos a família de sinais falpha(t)=u(t)e^-alpha t com alpha>0. Para cada alpha,
Falpha(omega) =integral0^inftye^-alpha te^-jomega t,dt =integral0^inftye^-(alpha+jomega)t,dt

Passo 4

Como Re(alpha+jomega)=alpha>0, a integral converge e vale
Falpha(omega) =[e^-(alpha+jomega)t-(alpha+jomega)]0^infty =1alpha+jomega

Passo 5

Agora fazemos alphato0^+. Em teoria de distribuições usa-se a identidade
limalphato0^+1alpha+jomega =PV!gl(1jomegagr)+pi,de<a(omega),
onde “P.V.” indica valor principal de Cauchy.

Resposta

Fu(t) =PV!l(tfrac1jomegar)+pi,de<a(omega)

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