Calcule a transformada de Fourier dos sinais abaixo e esboce os sinais no domínio da frequência. Encontre também a largura de banda nulo-a-nulo apenas dos item (a), (b) e (c).
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos (sem resolver nada ainda).
-
Pedidos:
- Calcular a transformada de Fourier de cada sinal
. - Esboçar (descrever) os sinais no domínio da frequência.
- Encontrar a largura de banda “nulo-a-nulo” apenas para os itens (a), (b) e (c).
- Calcular a transformada de Fourier de cada sinal
-
Sinais dados:
- (a)
. - (b)
. - (c)
. - (d)
. - (e)
.
- (a)
Observação: a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Vou fixar convenções e recordar propriedades que vou usar (explicando o porquê e o significado de cada símbolo).
-
Convenção de transformada de Fourier (frequência em Hz):e a transformada inversa éAqui
é a frequência em hertz, . -
Definições de funções-padrão (convenções usuais em sinais/telecom):
- A função
que usarei é a normalizada Com essa definição, vale a transformada conhecida: onde para e fora (valores nos pontos de fronteira não importam para integrais). - A função
que usarei é a mesma padrão: para e para .
- A função
-
Propriedades que usarei (com explicação):
- Escala no tempo: se
, então Interpretação: comprimir no tempo ( ) alarga o espectro, e há um fator de amplitude para conservar energia. - Multiplicação por constante:
. - Transformada do retângulo e relação inversa: se
tem largura de tempo , então (No caso recupera .) - Modulação (multiplicação por cosseno): se
, então Interpretação: multiplicar por desloca o espectro para e divide amplitudes por 2. - Cosseno puro:
tem transformada Aqui é o impulso de Dirac (representa energia concentrada em frequência).
- Escala no tempo: se
Com essas ferramentas, posso transformar cada sinal passo a passo.
Passo 3
Transformada do item (a):
.
- Começo com a função base
. - Aplico escala no tempo com
. Pela propriedade de escala: - Multiplico por 4:
- Simplificando a amplitude:
- Portanto:
Esboço no domínio da frequência (descrição):
-
é uma função rectangular centrada em . -
para (ou seja ),
epara .
Passo 4
Largura de banda nulo-a-nulo para (a).
- O retângulo não-nulo vai de
a (Hz). - A largura total (nulo-a-nulo) é
- Conclusão: largura nulo-a-nulo de (a) é
(200 kHz).
Passo 5
Transformada do item (b):
.
- Escrevo
. Aqui é a largura de tempo do retângulo. - Pela propriedade do retângulo:
Substituindo : - Multiplico por 10:
- Simplificando:
- Portanto:
Esboço no domínio da frequência (descrição):
-
é uma forma no eixo de frequência (função com argumento ). - Tem o pico em
com amplitude . - Os primeiros zeros ocorrem quando
, isto é, em Hz; zeros subsequentes em .
Passo 6
Largura de banda nulo-a-nulo para (b).
- Os primeiros zeros estão em
Hz. - A largura nulo-a-nulo (distância entre o zero negativo e o zero positivo) é
- Conclusão: largura nulo-a-nulo de (b) é
.
Passo 7
Transformada do item (c):
.
- Usei previamente
. - Aplicando a propriedade de modulação com
: - Substituindo
: - Simplificando o fator
:
Esboço no domínio da frequência (descrição):
-
é a soma de duas parcelas retangulares (duas “bandas”) centradas em Hz e Hz. - Cada retângulo tem amplitude
e extensão (lado a lado) (ou seja, cada banda vai de até ). - Não há componente em
porque a modulação deslocou o espectro original para .
Passo 8
Largura de banda nulo-a-nulo para (c).
- Cada lóbulo (cada retângulo centrado em
) tem largura total igual à largura do retângulo original , que é Hz. - Interpretação prática: a largura nulo-a-nulo do envelope de cada banda é
Hz (200 kHz). - Observação: se alguém perguntar a largura total ocupada de
de menor a maior frequência não-nula, seria de até , isto é, largura total ocupada Hz; mas o pedido costuma se referir à largura nulo-a-nulo de cada banda (como nos itens (a) e (b)), então a resposta natural é Hz.
Passo 9
Transformada do item (d):
.
- Aplicando a fórmula do cosseno:
- Para
: - Para
:
- Para
- Somando:
Esboço no domínio da frequência (descrição):
- Impulsos de Dirac em
com amplitude . - Impulsos de Dirac em
com amplitude . - Não há sinal contínuo — apenas linhas espectrais (linhas discretas).
Passo 10
Transformada do item (e):
.
- Use a propriedade de modulação com
: - Aplicando isso à expressão de
:
- Simplifico cada termo calculando as somas dos deslocamentos e fator
: - Dos termos com coeficiente
(vêm de ): localizações: - Dos termos com coeficiente
(vêm de ): localizações:
- Dos termos com coeficiente
- Assim, escrevo
agrupando os impulsos:
Esboço no domínio da frequência (descrição):
- O espectro consiste em impulsos em
com amplitude , e impulsos em com amplitude . - Em palavras: cada linha espectral de
foi deslocada para e teve amplitude dividida por 2.
Resposta
(a)
. Largura nulo-a-nulo:
(b)
. Largura nulo-a-nulo:
(c)
Largura nulo-a-nulo (de cada banda):
(d)
(e)