Calcule a transformada de Fourier dos sinais abaixo e esboce os sinais no domínio da frequência. Encontre também a largura de banda nulo-a-nulo apenas dos item (a), (b) e (c).
(a) a(t)=4 \operatorname{sinc}\left(2 \times 10^{5} t\right).
(b) b(t)=10 \operatorname{rect}(2000 t).
(c) c(t)=a(t) \cos \left(2 \pi 10^{6} t\right).
(d) d(t)=10 \cos (2 \pi 100 t)+5 \cos (2 \pi 200 t)
(e) e(t)=d(t) \cos (2 \pi 1000 t)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos (sem resolver nada ainda).
  • Pedidos:
    • Calcular a transformada de Fourier de cada sinal a(t), b(t), c(t), d(t), e(t).
    • Esboçar (descrever) os sinais no domínio da frequência.
    • Encontrar a largura de banda “nulo-a-nulo” apenas para os itens (a), (b) e (c).
  • Sinais dados:
    • (a) a(t)=4\\ \operatorname{sinc}\!\bigl(2\times10^{5} t\bigr).
    • (b) b(t)=10\\ \operatorname{rect}\!(2000 t).
    • (c) c(t)=a(t)\cos\!\bigl(2\pi\cdot10^{6} t\bigr).
    • (d) d(t)=10\cos\!\bigl(2\pi\cdot100 t\bigr)+5\cos\!\bigl(2\pi\cdot200 t\bigr).
    • (e) e(t)=d(t)\cos\!\bigl(2\pi\cdot1000 t\bigr).
Observação: a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Vou fixar convenções e recordar propriedades que vou usar (explicando o porquê e o significado de cada símbolo).
  • Convenção de transformada de Fourier (frequência em Hz):
    X(f)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j2\pi f t}\,dt,
    e a transformada inversa é
    x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} X(f)\,e^{j2\pi f t}\,df.
    Aqui f é a frequência em hertz, j=\sqrt{-1}.
  • Definições de funções-padrão (convenções usuais em sinais/telecom):
    • A função \operatorname{sinc}(t) que usarei é a normalizada \operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}.Com essa definição, vale a transformada conhecida: \operatorname{sinc}(t)\\ \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\\ \operatorname{rect}(f),onde \operatorname{rect}(f)=1 para |f|\leq\tfrac{1}{2} e 0 fora (valores nos pontos de fronteira não importam para integrais).
    • A função \operatorname{rect}(t) que usarei é a mesma padrão: \operatorname{rect}(t)=1 para |t|\le\tfrac{1}{2} e 0 para |t|>\tfrac{1}{2}.
  • Propriedades que usarei (com explicação):
    1. Escala no tempo: se x(t)\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}X(f), então x(\alpha t)\\ \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\\ \frac{1}{|\alpha|}\,X\!\left(\frac{f}{\alpha}\right).Interpretação: comprimir no tempo ( |\alpha|>1) alarga o espectro, e há um fator \tfrac{1}{|\alpha|} de amplitude para conservar energia.
    2. Multiplicação por constante: k\,x(t)\leftrightarrow k\,X(f).
    3. Transformada do retângulo e relação inversa: se \operatorname{rect}(t/\tau) tem largura de tempo \tau, então \operatorname{rect}\!\bigl(t/\tau\bigr)\\ \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\\ \tau\,\operatorname{sinc}(\tau f).(No caso \tau=1 recupera \operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}(f).)
    4. Modulação (multiplicação por cosseno): se x(t)\leftrightarrow X(f), então x(t)\cos(2\pi f_0 t)\\ \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\\ \tfrac{1}{2}X(f-f_0)+\tfrac{1}{2}X(f+f_0).Interpretação: multiplicar por \cos desloca o espectro para \pm f_0 e divide amplitudes por 2.
    5. Cosseno puro: A\cos(2\pi f_0 t) tem transformada A\cos(2\pi f_0 t)\\ \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\\ \tfrac{A}{2}\,\delta(f-f_0)+\tfrac{A}{2}\,\delta(f+f_0).Aqui \delta(\cdot) é o impulso de Dirac (representa energia concentrada em frequência).
Com essas ferramentas, posso transformar cada sinal passo a passo.

Passo 3

Transformada do item (a): a(t)=4\,\operatorname{sinc}\!\bigl(2\cdot10^{5} t\bigr).
  • Começo com a função base \operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}(f).
  • Aplico escala no tempo com \alpha=2\cdot10^{5}. Pela propriedade de escala: \operatorname{sinc}\!\bigl(2\cdot10^{5} t\bigr)\\ \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\\ \frac{1}{2\cdot10^{5}}\\ \operatorname{rect}\!\left(\frac{f}{2\cdot10^{5}}\right).
  • Multiplico por 4: A(f)=\mathcal{F}\{a(t)\}=4\cdot\frac{1}{2\cdot10^{5}}\\ \operatorname{rect}\!\left(\frac{f}{2\cdot10^{5}}\right) =\frac{4}{2\cdot10^{5}}\\ \operatorname{rect}\!\left(\frac{f}{2\cdot10^{5}}\right).
  • Simplificando a amplitude: \frac{4}{2\cdot10^{5}}=\frac{2}{10^{5}}=2\times10^{-5}.
  • Portanto: A(f)=2\times10^{-5}\\ \operatorname{rect}\!\left(\frac{f}{2\cdot10^{5}}\right).
Esboço no domínio da frequência (descrição):
  • A(f) é uma função rectangular centrada em f=0.
  • A(f)=2\times10^{-5} para |f|\leq\frac{2\cdot10^{5}}{2}=10^{5} (ou seja |f|\le 100\\ \text{kHz}),
    e A(f)=0 para |f|>10^{5}.

Passo 4

Largura de banda nulo-a-nulo para (a).
  • O retângulo não-nulo vai de -10^{5} a +10^{5} (Hz).
  • A largura total (nulo-a-nulo) é 10^{5}-(-10^{5})=2\cdot10^{5}\\ \text{Hz}.
  • Conclusão: largura nulo-a-nulo de (a) é 2\cdot10^{5}\\ \text{Hz} (200 kHz).

Passo 5

Transformada do item (b): b(t)=10\,\operatorname{rect}(2000 t).
  • Escrevo \operatorname{rect}(2000 t)=\operatorname{rect}\!\bigl(t/(1/2000)\bigr). Aqui \tau=\tfrac{1}{2000} é a largura de tempo do retângulo.
  • Pela propriedade do retângulo: \operatorname{rect}\!\bigl(t/\tau\bigr)\\ \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\\ \tau\,\operatorname{sinc}(\tau f).Substituindo \tau=\tfrac{1}{2000}: \operatorname{rect}(2000 t)\\ \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\\ \frac{1}{2000}\,\operatorname{sinc}\!\left(\frac{f}{2000}\right).
  • Multiplico por 10: B(f)=10\cdot\frac{1}{2000}\,\operatorname{sinc}\!\left(\frac{f}{2000}\right)=\frac{10}{2000}\,\operatorname{sinc}\!\left(\frac{f}{2000}\right).
  • Simplificando: \frac{10}{2000}=\frac{1}{200}=0{,}005.
  • Portanto: B(f)=\frac{1}{200}\,\operatorname{sinc}\!\left(\frac{f}{2000}\right).
Esboço no domínio da frequência (descrição):
  • B(f) é uma forma \operatorname{sinc} no eixo de frequência (função \sin(\pi x)/(\pi x) com argumento x=f/2000).
  • Tem o pico em f=0 com amplitude 1/200.
  • Os primeiros zeros ocorrem quando \frac{f}{2000}=\pm1, isto é, em f=\pm2000 Hz; zeros subsequentes em f=\pm4000,\pm6000,\dots.

Passo 6

Largura de banda nulo-a-nulo para (b).
  • Os primeiros zeros estão em f=\pm2000 Hz.
  • A largura nulo-a-nulo (distância entre o zero negativo e o zero positivo) é 2000-(-2000)=4000\\ \text{Hz}.
  • Conclusão: largura nulo-a-nulo de (b) é 4000\\ \text{Hz}.

Passo 7

Transformada do item (c): c(t)=a(t)\cos\!\bigl(2\pi\cdot10^{6} t\bigr).
  • Usei previamente A(f)=2\times10^{-5}\\ \operatorname{rect}\!\bigl(\tfrac{f}{2\cdot10^{5}}\bigr).
  • Aplicando a propriedade de modulação com f_0=10^{6}: C(f)=\tfrac{1}{2}A(f-f_0)+\tfrac{1}{2}A(f+f_0).
  • Substituindo A(f): C(f)=\tfrac{1}{2}\cdot 2\times10^{-5}\\ \operatorname{rect}\!\left(\frac{f-10^{6}}{2\cdot10^{5}}\right) +\tfrac{1}{2}\cdot 2\times10^{-5}\\ \operatorname{rect}\!\left(\frac{f+10^{6}}{2\cdot10^{5}}\right).
  • Simplificando o fator \tfrac{1}{2}\cdot 2\times10^{-5}=1\times10^{-5}: C(f)=10^{-5}\\ \operatorname{rect}\!\left(\frac{f-10^{6}}{2\cdot10^{5}}\right) +10^{-5}\\ \operatorname{rect}\!\left(\frac{f+10^{6}}{2\cdot10^{5}}\right).
Esboço no domínio da frequência (descrição):
  • C(f) é a soma de duas parcelas retangulares (duas “bandas”) centradas em f=+10^{6} Hz e f=-10^{6} Hz.
  • Cada retângulo tem amplitude 10^{-5} e extensão (lado a lado) |f-f_{\text{centro}}|\le 10^{5} (ou seja, cada banda vai de f_{\text{centro}}-10^{5} até f_{\text{centro}}+10^{5}).
  • Não há componente em f=0 porque a modulação deslocou o espectro original para \pm 10^{6}.

Passo 8

Largura de banda nulo-a-nulo para (c).
  • Cada lóbulo (cada retângulo centrado em \pm10^{6}) tem largura total igual à largura do retângulo original A(f), que é 2\cdot10^{5} Hz.
  • Interpretação prática: a largura nulo-a-nulo do envelope de cada banda é 2\cdot10^{5} Hz (200 kHz).
  • Observação: se alguém perguntar a largura total ocupada de C(f) de menor a maior frequência não-nula, seria de -(10^{6}+10^{5}) até +(10^{6}+10^{5}), isto é, largura total ocupada 2(10^{6}+10^{5})=2{,}2\times10^{6} Hz; mas o pedido costuma se referir à largura nulo-a-nulo de cada banda (como nos itens (a) e (b)), então a resposta natural é 2\cdot10^{5} Hz.

Passo 9

Transformada do item (d): d(t)=10\cos\!\bigl(2\pi\cdot100 t\bigr)+5\cos\!\bigl(2\pi\cdot200 t\bigr).
  • Aplicando a fórmula do cosseno:
    • Para 10\cos(2\pi\cdot100 t): \mathcal{F}\{10\cos(2\pi\cdot100 t)\}=\tfrac{10}{2}\,\delta(f-100)+\tfrac{10}{2}\,\delta(f+100)=5\,\delta(f-100)+5\,\delta(f+100).
    • Para 5\cos(2\pi\cdot200 t): \mathcal{F}\{5\cos(2\pi\cdot200 t)\}=\tfrac{5}{2}\,\delta(f-200)+\tfrac{5}{2}\,\delta(f+200)=2{,}5\,\delta(f-200)+2{,}5\,\delta(f+200).
  • Somando: D(f)=5\bigl[\delta(f-100)+\delta(f+100)\bigr]+2{,}5\bigl[\delta(f-200)+\delta(f+200)\bigr].
Esboço no domínio da frequência (descrição):
  • Impulsos de Dirac em f=\pm100 com amplitude 5.
  • Impulsos de Dirac em f=\pm200 com amplitude 2{,}5.
  • Não há sinal contínuo — apenas linhas espectrais (linhas discretas).

Passo 10

Transformada do item (e): e(t)=d(t)\cos\!\bigl(2\pi\cdot1000 t\bigr).
  • Use a propriedade de modulação com f_0=1000: E(f)=\tfrac{1}{2}D(f-1000)+\tfrac{1}{2}D(f+1000).
  • Aplicando isso à expressão de D(f): \begin{aligned} \tfrac{1}{2}D(f-1000) &= \tfrac{1}{2}\Big[5\delta(f-1000-100)+5\delta(f-1000+100)\\\ &\qquad\quad +2{,}5\delta(f-1000-200)+2{,}5\delta(f-1000+200)\Big], \end{aligned}
\begin{aligned} \tfrac{1}{2}D(f+1000) &= \tfrac{1}{2}\Big[5\delta(f+1000-100)+5\delta(f+1000+100)\\\ &\qquad\quad +2{,}5\delta(f+1000-200)+2{,}5\delta(f+1000+200)\Big]. \end{aligned}
  • Simplifico cada termo calculando as somas dos deslocamentos e fator \tfrac{1}{2}:
    • Dos termos com coeficiente 5 (vêm de \pm100): \tfrac{1}{2}\cdot5=2{,}5,localizações: f=1000+100=1100,\quad f=1000-100=900,\quad f=-1000+100=-900,\quad f=-1000-100=-1100.
    • Dos termos com coeficiente 2{,}5 (vêm de \pm200): \tfrac{1}{2}\cdot2{,}5=1{,}25,localizações: f=1000+200=1200,\quad f=1000-200=800,\quad f=-1000+200=-800,\quad f=-1000-200=-1200.
  • Assim, escrevo E(f) agrupando os impulsos: \begin{aligned} E(f) &= 2{,}5\bigl[\delta(f-1100)+\delta(f-900)+\delta(f+900)+\delta(f+1100)\bigr]\\\ &\quad +1{,}25\bigl[\delta(f-1200)+\delta(f-800)+\delta(f+800)+\delta(f+1200)\bigr]. \end{aligned}
Esboço no domínio da frequência (descrição):
  • O espectro consiste em impulsos em f=\pm900,\pm1100 com amplitude 2{,}5, e impulsos em f=\pm800,\pm1200 com amplitude 1{,}25.
  • Em palavras: cada linha espectral de D(f) foi deslocada para \pm1000 e teve amplitude dividida por 2.

Resposta

(a) \displaystyle A(f)=2\times10^{-5}\,\operatorname{rect}\!\left(\frac{f}{2\cdot10^{5}}\right). Largura nulo-a-nulo: \displaystyle 2\cdot10^{5}\\ \text{Hz}.
(b) \displaystyle B(f)=\frac{1}{200}\,\operatorname{sinc}\!\left(\frac{f}{2000}\right). Largura nulo-a-nulo: \displaystyle 4000\\ \text{Hz}.
(c) \displaystyle C(f)=10^{-5}\,\operatorname{rect}\!\left(\frac{f-10^{6}}{2\cdot10^{5}}\right) +10^{-5}\,\operatorname{rect}\!\left(\frac{f+10^{6}}{2\cdot10^{5}}\right). Largura nulo-a-nulo (de cada banda): \displaystyle 2\cdot10^{5}\\ \text{Hz}.
(d) \displaystyle D(f)=5\bigl[\delta(f-100)+\delta(f+100)\bigr]+2{,}5\bigl[\delta(f-200)+\delta(f+200)\bigr].
(e) \displaystyle E(f)=2{,}5\bigl[\delta(f-1100)+\delta(f-900)+\delta(f+900)+\delta(f+1100)\bigr]
\displaystyle\quad +1{,}25\bigl[\delta(f-1200)+\delta(f-800)+\delta(f+800)+\delta(f+1200)\bigr].

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