Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, encontrar uma função
tal que .
Observação: no enunciadoé o seno; vou usar a notação habitual para clareza. Não inicio a resolução ainda, apenas deixei claro o que é pedido e os dados.
Passo 2
Vamos reescrever a integranda de uma forma que fique reconhecível. Usando propriedades básicas das funções trigonométricas,
Explicando as notações:
e
. Portanto a integral fica
Passo 3
Agora uma observação-chave (tema que aparece muito em provas): a derivada de
é
. Vou mostrar por que isso é verdade, passo a passo, usando regras de derivação:
Aplicando a regra da cadeia (derivada de
é
):
E como
, concluímos
Isso é útil porque a integranda que temos é exatamente
.
Passo 4
Usando o ponto do passo anterior, a integral é direta: como a derivada de
é
, então
onde
é a constante de integração. Essa é a forma mais curta e prática para a prova.
Passo 5
Vou mostrar também um método alternativo (substituição) — bom ter duas maneiras na manga para a prova — e desenvolver passo a passo para ficar bem claro:
- Faça a substituição
. - Então
, ou seja .
Substituindo na integral original:
Agora integramos potência: para
com
,
. Aqui
, então
Voltando à variável
(lembre que
):
o mesmo resultado do passo anterior.
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (bom hábito): diferenciar
,
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Resumo prático para a prova (memorização útil): sempre que vir
já saiba que resulta em
. Alternativamente, se vir uma função da forma
pode tentar
e obter
para integrar — padrão que aparece com frequência.
Força nos estudos — esse tipo de integral é curta e muito recorrente; praticando vai ficar automático na hora da prova!