\int\left(\frac{\operatorname{sen} x}{\cos ^{2} x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{\operatorname{sen} x}{\cos^{2} x}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos^{2} x}.
  • Quer-se uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos^{2} x}.
    Observação: no enunciado \operatorname{sen} x é o seno; vou usar a notação habitual \sin x para clareza. Não inicio a resolução ainda, apenas deixei claro o que é pedido e os dados.

Passo 2

Vamos reescrever a integranda de uma forma que fique reconhecível. Usando propriedades básicas das funções trigonométricas,
\frac{\sin x}{\cos^{2} x}=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{1}{\cos x}=\tan x\cdot\operatorname{sec} x.
Explicando as notações: \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Portanto a integral fica
\int\frac{\sin x}{\cos^{2} x}\,dx=\int \tan x\operatorname{sec} x\,dx.

Passo 3

Agora uma observação-chave (tema que aparece muito em provas): a derivada de \operatorname{sec} x é \operatorname{sec} x\tan x. Vou mostrar por que isso é verdade, passo a passo, usando regras de derivação:
\operatorname{sec} x=(\cos x)^{-1}.
Aplicando a regra da cadeia (derivada de u^{-1} é -u^{-2}u'):
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1}=-1\cdot(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos^{2} x}.
E como \dfrac{\sin x}{\cos^{2} x}=\operatorname{sec} x\tan x, concluímos
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x.
Isso é útil porque a integranda que temos é exatamente \operatorname{sec} x\tan x.

Passo 4

Usando o ponto do passo anterior, a integral é direta: como a derivada de \operatorname{sec} x é \operatorname{sec} x\tan x, então
\int \tan x\operatorname{sec} x\,dx=\operatorname{sec} x + C,
onde C é a constante de integração. Essa é a forma mais curta e prática para a prova.

Passo 5

Vou mostrar também um método alternativo (substituição) — bom ter duas maneiras na manga para a prova — e desenvolver passo a passo para ficar bem claro:
  • Faça a substituição \;u=\cos x.
  • Então \;du=-\sin x\,dx, ou seja \sin x\,dx=-du.
    Substituindo na integral original:
\int\frac{\sin x}{\cos^{2} x}\,dx=\int\frac{1}{u^{2}}\sin x\,dx=\int\frac{1}{u^{2}}(-du)=-\int u^{-2}\,du.
Agora integramos potência: para u^{n} com n\neq -1, \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C. Aqui n=-2, então
-\int u^{-2}\,du=-\left(\frac{u^{-1}}{-1}\right)+C=u^{-1}+C=\frac{1}{u}+C.
Voltando à variável x (lembre que u=\cos x):
\frac{1}{u}+C=\frac{1}{\cos x}+C=\operatorname{sec} x + C,
o mesmo resultado do passo anterior.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (bom hábito): diferenciar \operatorname{sec} x + C,
\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x + C)=\operatorname{sec} x\tan x=\frac{\sin x}{\cos^{2} x},
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Resumo prático para a prova (memorização útil): sempre que vir \int \operatorname{sec} x\tan x\,dx já saiba que resulta em \operatorname{sec} x + C. Alternativamente, se vir uma função da forma \dfrac{f'(x)}{(f(x))^{2}} pode tentar u=f(x) e obter u^{-2} para integrar — padrão que aparece com frequência.
Força nos estudos — esse tipo de integral é curta e muito recorrente; praticando vai ficar automático na hora da prova!

Resposta

\operatorname{sec} x + C

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