(Valor 1,5) Calcule o limite das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite:
As informações dadas são apenas a expressão da função
e o ponto de chegada
.
Passo 2
Vamos analisar a regularidade das funções envolvidas para decidir se podemos simplesmente substituir
.
- A função
é polinomial em , logo contínua em todo . - A função
é polinomial em , logo contínua em todo . - A função
é composição da função seno (contínua) com a função produto (contínua). Logo é contínua em todo .
Produto e composição de funções contínuas são contínuas. Portanto a função
é contínua em todo
. Quando uma função de duas variáveis é contínua num ponto, o limite quando
tende a esse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Assim podemos calcular o limite por substituição direta:
Passo 3
Calcular o argumento do seno:
Para avaliar
reduzimos o ângulo por múltiplos de
ou usamos deslocamento por
:
Usando a fórmula de seno para soma de ângulos,
, com
e
, temos
Sabendo que
,
,
e
, obtemos
Observação alternativa rápida: a sequência
vale
conforme
par/ímpar; aqui
ímpar, então dá
.
Passo 4
Substituindo
na expressão do Passo 2, obtemos
Passo 5
Conclusão: pelo argumento da continuidade e pelos cálculos acima, o limite existe e é o valor calculado.