(Valor 1,5) Calcule o limite das funções abaixo:
\lim _{(x, y) \rightarrow\left(\frac{7}{2^{\prime}} \pi\right)} x y^{2} \operatorname{sen}(x y)

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{(x,y)\to\left(\tfrac{7}{2},\,\pi\right)} x\,y^{2}\,\operatorname{sen}(xy).
As informações dadas são apenas a expressão da função x\,y^{2}\,\operatorname{sen}(xy) e o ponto de chegada \left(\tfrac{7}{2},\pi\right).

Passo 2

Vamos analisar a regularidade das funções envolvidas para decidir se podemos simplesmente substituir \left(x,y\right)=\left(\tfrac{7}{2},\pi\right).
  • A função f(x,y)=x é polinomial em x, logo contínua em todo \mathbb{R}^2.
  • A função g(x,y)=y^{2} é polinomial em y, logo contínua em todo \mathbb{R}^2.
  • A função h(x,y)=\operatorname{sen}(xy) é composição da função seno (contínua) com a função produto (x,y)\mapsto xy (contínua). Logo h é contínua em todo \mathbb{R}^2.
Produto e composição de funções contínuas são contínuas. Portanto a função F(x,y)=x\,y^{2}\,\operatorname{sen}(xy) é contínua em todo \mathbb{R}^2. Quando uma função de duas variáveis é contínua num ponto, o limite quando (x,y) tende a esse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Assim podemos calcular o limite por substituição direta:
\lim_{(x,y)\to\left(\tfrac{7}{2},\pi\right)} x\,y^{2}\,\operatorname{sen}(xy)=\left(\tfrac{7}{2}\right)\pi^{2}\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{7}{2}\cdot\pi\right).

Passo 3

Calcular o argumento do seno:
\tfrac{7}{2}\cdot\pi=\tfrac{7\pi}{2}.
Para avaliar \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{7\pi}{2}\right) reduzimos o ângulo por múltiplos de 2\pi ou usamos deslocamento por \pi:
\tfrac{7\pi}{2}=3\pi+\tfrac{\pi}{2}.
Usando a fórmula de seno para soma de ângulos, \operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen} a\cos b+\cos a\operatorname{sen} b, com a=3\pi e b=\tfrac{\pi}{2}, temos
\operatorname{sen}\!\left(3\pi+\tfrac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}(3\pi)\cos\!\tfrac{\pi}{2}+\cos(3\pi)\operatorname{sen}\!\tfrac{\pi}{2}.
Sabendo que \operatorname{sen}(3\pi)=0, \cos\!\tfrac{\pi}{2}=0, \operatorname{sen}\!\tfrac{\pi}{2}=1 e \cos(3\pi)=\cos(\pi)= -1, obtemos
\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{7\pi}{2}\right)=0\cdot0+(-1)\cdot1=-1.
Observação alternativa rápida: a sequência \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\right) vale 1,-1,1,-1,\dots conforme k par/ímpar; aqui k=3 ímpar, então dá -1.

Passo 4

Substituindo \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{7\pi}{2}\right)=-1 na expressão do Passo 2, obtemos
\left(\tfrac{7}{2}\right)\pi^{2}\cdot(-1)=-\tfrac{7\pi^{2}}{2}.

Passo 5

Conclusão: pelo argumento da continuidade e pelos cálculos acima, o limite existe e é o valor calculado.

Resposta

-\dfrac{7\pi^{2}}{2}

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