Calcule a transformada das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a transformada da função $ f(t) = \cos(t) $. Isso está dentro do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender a definição da Transformada de Laplace e como aplicá-la à função cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Basicamente, é uma maneira de transformar uma função no tempo, $ f(t) $, em uma função no domínio da frequência, $ F(s) $. A fórmula da Transformada de Laplace é:
Onde $ s $ é uma variável complexa.
Passo 3
No nosso caso, a função que queremos transformar é $ f(t) = \cos(t) $. Então, vamos substituir essa função na fórmula da Transformada de Laplace:
Passo 4
Agora, precisamos resolver essa integral. Felizmente, existe uma fórmula padrão para a Transformada de Laplace da função cosseno:
Onde $ \omega $ é a frequência angular da função cosseno.
Passo 5
No nosso exercício, a função é $ \cos(t) $, o que significa que $ \omega = 1 $. Vamos substituir esse valor na fórmula padrão:
Resposta
A transformada de Laplace de $ f(t) = \cos(t) $ é: