Calcule a transformada das funções abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ H(t) $ que vale 1 quando $ t \geq 0 $ e 0 caso contrário. Nosso objetivo é calcular a transformada dessa função. Para isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas.
Passo 2
A Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é definida pela fórmula:
Onde $ s $ é uma variável complexa. Vamos aplicar essa definição à nossa função $ H(t) $.
Passo 3
Substituindo $ H(t) $ na fórmula da Transformada de Laplace, temos:
Porque $ H(t) = 1 $ para $ t \geq 0 $.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral:
Essa é uma integral básica que resulta em:
desde que $ Re(s) > 0 $ para garantir a convergência da integral.
Resposta
A transformada de $ H(t) $ é: