Quais os valores de x que satisfazem a inequação x-3x-2 <= x-1 ?

Passo 1

O problema pede para encontrar os valores de x que satisfazem x-3x-2 <= x-1. O conteúdo aqui é inequação fracionária: a ideia é encontrar o domínio ( xneq2), transformar tudo numa única fração e depois montar o quadro de sinais.

Passo 2

Primeiro vamos colocar tudo num único lado e juntar em uma fração. Fazendo x-3x-2 - (x-1) obtemos:
x-3x-2 - (x-1) = x-3 - (x-1)(x-2)x-2 = -x^2 + 4x - 5x-2
Portanto a inequação fica:
-x^2 + 4x - 5x-2 <= 0

Passo 3

Agora vamos analisar sinais de numerador e denominador separadamente. Para o numerador -x^2+4x-5 calculamos o discriminante:
De
Como De e o coeficiente de x^2 é negativo, concluímos que -x^2+4x-5<0 para todo xinR.

Passo 4

O denominador x-2 muda de sinal em x=2: ele é negativo para x<2 e positivo para x>2.

Passo 5

Como o numerador é sempre negativo, o sinal da fração é dado pelo sinal de 1/(x-2) com inversão:
negativox-2 < 0 Long<=ftrightarrow x-2>0
Note que a fração nunca zera (numerador nunca é zero), então <=0 vira estritamente <0. Logo a condição é x-2>0 junto com o domínio xneq2, ou seja
x>2.

Resposta

(2,infty)

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