Calcule a transformada inversa: L^-14(s^2+1)(s-3)

Passo 1

No enunciado, precisamos calcular a transformada inversa de Laplace de 4(s^2+1)(s-3). O conteúdo aqui é a transformada inversa de Laplace e vamos usar a técnica de decomposição em frações parciais para poder aplicar tabelas conhecidas.

Passo 2

Começamos escrevendo
4(s^2+1)(s-3)=As-3+Bs+Cs^2+1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (s^2+1)(s-3) e igualando coeficientes, obtemos
4=A(s^2+1)+(Bs+C)(s-3)

Passo 4

Expandindo e agrupando termos em potências de s:
4=(A+B)s^2+(C-3B)s+(A-3C)

Passo 5

Logo, comparando coeficientes:
A+B=0C-3B=0A-3C=4

Passo 6

Resolvendo esse sistema: A=tfrac25, B=-tfrac25 e C=-tfrac65.

Passo 7

Substituindo na decomposição:
4(s^2+1)(s-3)=2/5s-3+-tfrac25s-tfrac65s^2+1 = 251s-3-25ss^2+1-651s^2+1

Passo 8

Agora aplicamos a transformada inversa em cada termo usando
L^-11/(s-3)=e^3t, L^-1s/(s^2+1)=cos t, L^-11/(s^2+1)=sin t

Passo 9

Combinando tudo, chegamos ao resultado final.

Resposta

f(t)=25e^3t-25cos t-65sin t

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