Considere o seguinte PVI
em que
. Usando transformada de Laplace, resolva o PVI.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando Transformada de Laplace! 😊 A gente tem um problema inicial (PVI) onde a segunda derivada de
mais 16 vezes
é igual a uma função
. As condições iniciais são
e
. Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e lidar com funções definidas por partes, como a
aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o PVI para facilitar:
Com:
Nossa missão é achar
usando a Transformada de Laplace.
Passo 3
Vamos lembrar como a Transformada de Laplace funciona para derivadas. Se
, então:
Como temos
e
, substituindo:
Passo 4
Aplicando a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial:
Substituindo:
Então:
Passo 5
Agora precisamos lidar com
. Como
é uma função por partes, vamos expressá-la usando a função degrau de Heaviside
:
Então:
Sabemos que:
E usando a propriedade do deslocamento:
Como
e
:
Portanto:
Passo 6
Voltando à equação transformada:
Vamos isolar
:
Multiplicando os dois lados por
:
Passo 7
Agora, vamos fazer a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
. Observamos que:
E para o segundo termo, usamos a propriedade de convolução e deslocamento:
Então, juntando tudo:
Resposta
A solução do PVI usando Transformada de Laplace é: