Considere o seguinte PVI
c y^prime prime+16 y=f(t) y^prime(0)=1, y(0)=0
em que f(t)=clcos (4 t), & 0 <= t= pi. Usando transformada de Laplace, resolva o PVI.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando Transformada de Laplace! 😊 A gente tem um problema inicial (PVI) onde a segunda derivada de mais 16 vezes é igual a uma função . As condições iniciais são e . Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e lidar com funções definidas por partes, como a aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o PVI para facilitar:
y''(t) + 16y(t) = f(t)
Com:
f(t) = cos(4t), & 0 <= t < pi 0, & t >= pi
Nossa missão é achar usando a Transformada de Laplace.

Passo 3

Vamos lembrar como a Transformada de Laplace funciona para derivadas. Se Ly'(t) = sY(s) - y(0) , então:
Ly''(t) = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)
Ly''(t) = s^2Y(s) - 1
Como temos e , substituindo:

Passo 4

Aplicando a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial:
Ly''(t) + 16Ly(t) = Lf(t)
Substituindo:
s^2Y(s) - 1 + 16Y(s) = Lf(t)
Então:
(s^2 + 16)Y(s) - 1 = Lf(t)

Passo 5

Agora precisamos lidar com f(t) = cos(4t) cdot u(pi - t) = cos(4t) - cos(4t) cdot u(t - pi) . Como Lf(t) = Lcos(4t) - Lcos(4(t - pi))u(t - pi) é uma função por partes, vamos expressá-la usando a função degrau de Heaviside Lcos(4t) = ss^2 + 16 :
Lcos(4(t - pi))u(t - pi) = e^-pi s s cos(4pi) + 4 sin(4pi)s^2 + 16
Então:
Lcos(4(t - pi))u(t - pi) = s e^-pi ss^2 + 16
Sabemos que:
Lf(t) = ss^2 + 16 - s e^-pi ss^2 + 16 = s(1 - e^-pi s)s^2 + 16
E usando a propriedade do deslocamento:
Como e :
Portanto:

Passo 6

Voltando à equação transformada:
(s^2 + 16)Y(s) - 1 = s(1 - e^-pi s)s^2 + 16
Vamos isolar (s^2 + 16)Y(s) = 1 + s(1 - e^-pi s)s^2 + 16 :
Y(s) = 1s^2 + 16 + s(1 - e^-pi s)(s^2 + 16)^2
Multiplicando os dois lados por :

Passo 7

Agora, vamos fazer a Transformada Inversa de Laplace para encontrar L^-11s^2 + 16 = 14sin(4t) . Observamos que:
L^-1s(s^2 + 16)^2 = t8 sin(4t)
E para o segundo termo, usamos a propriedade de convolução e deslocamento:
y(t) = 14sin(4t) + 18t sin(4t) - 18(t - pi)sin(4(t - pi))u(t - pi)
Então, juntando tudo:

Resposta

A solução do PVI usando Transformada de Laplace é:
y(t) = 14sin(4t) + 18t sin(4t) - 18(t - pi)sin(4(t - pi))u(t - pi)

Exercícios relacionados