Usando o método de redução de ordem, ache a solução geral de cada edo. Uma solução de edo homogênea é dada.
y^prime prime-2x y^prime+2x^2 y=0, y1=x

Passo 1

Temos a EDO y'' - 2xy' + 2x^2y = 0. O conteúdo é resolução de EDOs de segunda ordem por redução de ordem, usando que já conhecemos uma solução y1 = x. Vamos escrever a equação na forma padrão e aplicar o método.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0. Comparando, identificamos
P(x) = -2x, Q(x) = 2x^2

Passo 3

Pela teoria de redução de ordem, a segunda solução independente é
y2 = y1 integral e^-integral P(x),dxy1^2,dxEssa fórmula vem de supor y2 = v(x)y1 e determinar v(x).

Passo 4

Calculamos o fator que aparece na integral:
e^-integral P(x),dx = e^-integral l(-tfrac2xr),dx = e^2ln x = x^2

Passo 5

Substituímos tudo na fórmula de y2:
y2 = x integral x^2x^2,dx = x integral 1,dx = x cdot x = x^2

Passo 6

Agora que temos duas soluções independentes y1 = x e y2 = x^2, a solução geral da EDO é dada por combinações lineares dessas soluções.

Resposta

y = C1 x + C2 x^2

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