Calcule a transformada inversa de Laplace de:
F(s) & =10s(s+2)(s+3)^2 F(s) & =s+3s(s+1)(s+2) d) F(s) & =2 s+12s^2+2 s+5

Passo 1

O exercício pede pra calcular as transformadas inversas de Laplace de três funções: F1(s)=10s(s+2)(s+3)^2, F2(s)=s+3s(s+1)(s+2) e F3(s)=2s+12s^2+2s+5. Vamos usar frações parciais e completar o quadrado, junto com a tabela básica de transformadas.

Passo 2

Para F1(s)=10s(s+2)(s+3)^2, fazemos a decomposição em frações parciais do tipo
10s(s+2)(s+3)^2=As+Bs+2+Cs+3+D(s+3)^2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s(s+2)(s+3)^2 e escolhendo valores convenientes para s, encontramos os coeficientes: A=tfrac59, B=-5, C=tfrac409 e D=tfrac103.

Passo 4

Aplicando a transformada inversa termo a termo usando que L^-11/(s+a)=e^-at e L^-11/(s+a)^2=te^-at, obtemos
f1(t)=59-5e^-2t+409e^-3t+103,t,e^-3t

Passo 5

Para F2(s)=s+3s(s+1)(s+2), fazemos frações parciais no formato
s+3s(s+1)(s+2)=As+Bs+1+Cs+2

Passo 6

Multiplicando e atribuindo s=0,-1,-2, achamos A=tfrac32, B=-2 e C=tfrac12. Assim
f2(t)=32-2e^-t+12e^-2t

Passo 7

Para F3(s)=2s+12s^2+2s+5, completamos o quadrado no denominador: s^2+2s+5=(s+1)^2+2^2, e reescrevemos o numerador como 2(s+1)+10. Então
F3(s)=2(s+1)(s+1)^2+4+10(s+1)^2+4

Passo 8

Usando que L^-1(s+a)/[(s+a)^2+b^2]=e^-atcos(bt) e L^-1b/[(s+a)^2+b^2]=e^-atsin(bt), chegamos em
f3(t)=2e^-tcos(2t)+5e^-tsin(2t)

Resposta

As inversas de Laplace são: f1(t)=59-5e^-2t+409e^-3t+103te^-3t, f2(t)=32-2e^-t+12e^-2t e f3(t)=2e^-tcos(2t)+5e^-tsin(2t).

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