Resolva as seguintes equações diferenciais:
Condições iniciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, mais precisamente
e aplicar as condições iniciais
e
. Vamos usar o método do polinômio característico para obter a solução geral e então ajustar os parâmetros com as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro montamos o polinômio característico associado à equação homogênea. Substituímos
para obter
Esse polinômio nos diz quais exponenciais compõem a solução.
Passo 3
Agora resolvemos a equação quadrática
logo as raízes são
e
.
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Vamos calcular a derivada de
:
Agora aplicamos as condições em
. Primeiro
dá
Passo 6
Em seguida
dá
Agora temos um sistema de duas equações lineares em
e
.
Passo 7
Resolvendo o sistema
Da segunda equação
vem
. Substituindo em
obtemos
Logo
.
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral, concluímos que a solução que satisfaz as condições iniciais é
Resposta
x(t) = 2 e^{-t} - e^{-2t}