Resolva as seguintes equações diferenciais:
x^prime prime(t)+3 x^prime(t)+2 x(t)=0
Condições iniciais:
l x(0)=1 x^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, mais precisamente
x''(t) + 3x'(t) + 2x(t) = 0
e aplicar as condições iniciais x(0)=1 e x'(0)=0. Vamos usar o método do polinômio característico para obter a solução geral e então ajustar os parâmetros com as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro montamos o polinômio característico associado à equação homogênea. Substituímos x(t)=e^rt para obter
r^2 + 3r + 2 = 0
Esse polinômio nos diz quais exponenciais compõem a solução.

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática
r^2 + 3r + 2 = (r+1)(r+2) = 0
logo as raízes são r1 = -1 e r2 = -2.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é
x(t) = A e^-t + B e^-2t
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Vamos calcular a derivada de x(t):
x'(t) = -A e^-t - 2B e^-2t
Agora aplicamos as condições em t=0. Primeiro x(0)=1
A + B = 1

Passo 6

Em seguida x'(0)=0
- A - 2B = 0
Agora temos um sistema de duas equações lineares em A e B.

Passo 7

Resolvendo o sistema
A + B = 1 - A - 2B = 0
Da segunda equação -A - 2B = 0 vem A = -2B. Substituindo em A+B=1 obtemos
-2B + B = 1 implies -B = 1 implies B = -1
Logo A = -2(-1) = 2.

Passo 8

Substituindo A=2 e B=-1 na solução geral, concluímos que a solução que satisfaz as condições iniciais é
x(t) = 2 e^-t - e^-2t

Resposta

x(t) = 2 e^{-t} - e^{-2t}

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