Calcule a transformada inversa de Laplace de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace de
. Vamos usar frações parciais, pois é o método clássico para decompor funções racionais em termos cuja inversa de Laplace é conhecida.
Passo 2
Assumimos a decomposição
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Passo 3
Para achar
bastam valores de
que zere cada termo:
- Para
: ⟹ . - Para
: ⟹ . - Para
: ⟹ .
Passo 4
Para achar
podemos usar um valor qualquer de
, por exemplo
:
Substituindo
,
,
e resolvendo, obtemos
.
Passo 5
Agora escrevemos cada termo na forma cuja inversa de Laplace é conhecida:
-
-
-
-
Então
Resposta
f(t)=\frac{5}{9} - 5e^{-2t} + \frac{40}{9}e^{-3t} + \frac{10}{3}t e^{-3t}