Calcule a transformada inversa de Laplace de:
& F(s)=10s(s+2)(s+3)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace de F(s)=10s(s+2)(s+3)^2. Vamos usar frações parciais, pois é o método clássico para decompor funções racionais em termos cuja inversa de Laplace é conhecida.

Passo 2

Assumimos a decomposição
10s(s+2)(s+3)^2=As+Bs+2+Cs+3+D(s+3)^2
Multiplicando ambos os lados por s(s+2)(s+3)^2 obtemos
10 = A(s+2)(s+3)^2 + B,s(s+3)^2 + C,s(s+2)(s+3) + D,s(s+2)

Passo 3

Para achar A,B,D bastam valores de s que zere cada termo:
  • Para s=0: 10 = Acdot2cdot3^2=18A A=tfrac59.
  • Para s=-2: 10 = Bcdot(-2)cdot1^2=-2B B=-5.
  • Para s=-3: 10 = D,(-3)(-1)=3D D=tfrac103.

Passo 4

Para achar C podemos usar um valor qualquer de s, por exemplo s=1:
10 = Acdot3cdot4^2 + Bcdot1cdot4^2 + Ccdot1cdot3cdot4 + Dcdot1cdot3
Substituindo A=5/9, B=-5, D=10/3 e resolvendo, obtemos C=tfrac409.

Passo 5

Agora escrevemos cada termo na forma cuja inversa de Laplace é conhecida:
  • L^-1[1/s]=1
  • L^-1[1/(s+2)]=e^-2t
  • L^-1[1/(s+3)]=e^-3t
  • L^-1[1/(s+3)^2]=t e^-3t
    Então
f(t)=59cdot1 -5e^-2t + 409e^-3t + 103t e^-3t

Resposta

f(t)=\frac{5}{9} - 5e^{-2t} + \frac{40}{9}e^{-3t} + \frac{10}{3}t e^{-3t}

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