Calcule a transformada inversa de Laplace de:
F(s)=2 s+12s^2+2 s+5

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de F(s)=2s+12s^2+2s+5. O conteúdo principal é usar a técnica de completar o quadrado no denominador e empregar pares básicos da tabela de transformadas de Laplace.

Passo 2

Para simplificar o denominador, completamos o quadrado:
s^2 + 2s + 5 = (s+1)^2 + 2^2

Passo 3

Reescrevemos o numerador de modo a alinhar com s+1:
2s + 12 = 2(s+1) + 10

Passo 4

Separamos F(s) em duas frações que lembram os pares conhecidos:
F(s)=2(s+1)(s+1)^2+2^2 ;+; 10(s+1)^2+2^2

Passo 5

Agora usamos os pares da tabela de transformadas:
  • s+1(s+1)^2+2^2 corresponde a e^-tcos(2t).
  • 2(s+1)^2+2^2 corresponde a e^-tsin(2t).
    Assim, a inversa de cada termo é:
  • 2cdot e^-tcos(2t).
  • 10cdot12 e^-tsin(2t)=5e^-tsin(2t).

Resposta

f(t)=e^-tl(2cos(2t)+5sin(2t))

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