Calcule a transformada inversa de Laplace:
F(s)=3s(s^2+2 s+5)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de F(s)=dfrac3s,(s^2+2s+5). Vamos usar frações parciais e tabelas de transformada de Laplace, além de completar o quadrado em s^2+2s+5.

Passo 2

Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais:
3s,(s^2+2s+5)=As+Bs+Cs^2+2s+5
Multiplicando ambos os lados por s(s^2+2s+5) e igualando coeficientes, temos:
$$
3=A(s^2+2s+5)+(Bs+C)s
3=A(s^2+2s+5)+(Bs+C)s
3=(A+B)s^2+(2A+C)s+5A
3=(A+B)s^2+(2A+C)s+5A
F(s)=\frac{3/5}{s}+\frac{-\tfrac{3}{5}s - \tfrac{6}{5}}{s^2+2s+5}
$$

Passo 3

Agora completamos o quadrado em s^2+2s+5=(s+1)^2+4 e reescrevemos o numerador
-tfrac35s - tfrac65=-tfrac35(s+1)-tfrac35
Então
F(s)=3/5s-3/5(s+1)^2+2^2,(s+1)-3/5(s+1)^2+2^2
Dividindo em dois termos padronizados:
F(s)=3/5s-3/5(s+1)^2+2^2(s+1)-3/52cdot2(s+1)^2+2^2

Passo 4

Agora aplicamos as transformadas inversas:
  • L^-11/s=1.
  • L^-1(s+1)/[(s+1)^2+2^2]=e^-tcos(2t).
  • L^-12/[(s+1)^2+2^2]=e^-tsin(2t).
    Portanto
f(t)=35-35e^-tcos(2t)-310e^-tsin(2t)

Resposta

f(t)=\dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{5}e{-t}\cos(2t)-\dfrac{3}{10}e{-t}\sin(2t)

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