Resolva as seguintes equações diferenciais:
Condições iniciais:
Passo 1
A gente tem a EDO
com condições iniciais
e
. É uma equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes, e vamos resolver usando a equação característica.
Passo 2
A equação característica associada é
Resolvendo essa equação de segundo grau, encontramos raízes complexas
.
Passo 3
Como as raízes são da forma
com
e
, a solução geral é dada por
Passo 4
Aplicando a condição inicial
:
Logo,
e a solução reduzida fica
.
Passo 5
Agora derivamos a solução reduzida para achar
:
Usando
, temos
portanto
.
Passo 6
Com
e
, já temos todos os coeficientes e, assim, a solução particular da EDO.
Resposta
x(t) = \frac{3}{2} e^{-t} \sin(2t)