Resolva as seguintes equações diferenciais:
x^prime prime(t)+2 x^prime(t)+5 x(t)=0
Condições iniciais:
l x(0)=0 x^prime(0)=3

Passo 1

A gente tem a EDO x''(t) + 2x'(t) + 5x(t) = 0 com condições iniciais x(0)=0 e x'(0)=3. É uma equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes, e vamos resolver usando a equação característica.

Passo 2

A equação característica associada é
r^2 + 2r + 5 = 0
Resolvendo essa equação de segundo grau, encontramos raízes complexas
r = -1 pm 2i.

Passo 3

Como as raízes são da forma alpha pm ibeta com alpha = -1 e beta = 2, a solução geral é dada por
x(t) = e^alpha tl(C1cos(beta t) + C2sin(beta t)r) = e^-tl(C1cos(2t) + C2sin(2t)r)

Passo 4

Aplicando a condição inicial x(0)=0:
x(0) = C1 = 0
Logo, C1 = 0 e a solução reduzida fica x(t) = C2 e^-tsin(2t).

Passo 5

Agora derivamos a solução reduzida para achar x'(t):
x'(t) = C2 e^-tl(2cos(2t) - sin(2t)r)
Usando x'(0)=3, temos
3 = C2 cdot 2
portanto C2 = tfrac32.

Passo 6

Com C1 = 0 e C2 = tfrac32, já temos todos os coeficientes e, assim, a solução particular da EDO.

Resposta

x(t) = \frac{3}{2} e^{-t} \sin(2t)

Exercícios relacionados