(calcule a transformada inversa de Laplace):
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a transformada inversa de Laplace de
. Esse problema envolve decomposição em frações parciais e depois usar tabela de transformadas inversas, incluindo deslocamento e senos/cossenos.
Passo 2
Primeiro a gente faz a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
$$
3=A(s^2+2s+5)+(Bs+C)s
3=(A+B)s^2+(2A+C)s+5A.
$$
Passo 3
Igualando coeficientes de potências de
:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Daí, logo e . Substituindo na decomposição:
Passo 4
Agora completamos o quadrado no denominador
e reescrevemos o numerador de modo a usar transformadas padrões:
Então
Passo 5
Por fim aplicamos as transformadas inversas conhecidas:
-
-
-
.
Juntando tudo, obtemos a solução em função do tempo.