(calcule a transformada inversa de Laplace):
F(s)=3s(s^2+2 s+5)

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a transformada inversa de Laplace de F(s)=3s,(s^2+2s+5). Esse problema envolve decomposição em frações parciais e depois usar tabela de transformadas inversas, incluindo deslocamento e senos/cossenos.

Passo 2

Primeiro a gente faz a decomposição em frações parciais:
3s,(s^2+2s+5)=As+Bs+Cs^2+2s+5
Multiplicando ambos os lados por s(s^2+2s+5) e igualando polinômios, temos:
$$
3=A(s^2+2s+5)+(Bs+C)s
3=A(s^2+2s+5)+(Bs+C)s
3=(A+B)s^2+(2A+C)s+5A.
$$

Passo 3

Igualando coeficientes de potências de s:
  • Coeficiente de s^2: A+B=0
  • Coeficiente de s: 2A+C=0
  • Termo constante: 5A=3
    Daí A=3/5, logo B=-A=-3/5 e C=-2A=-6/5. Substituindo na decomposição:
F(s)=3/5s+(-3/5)s+(-6/5)s^2+2s+5

Passo 4

Agora completamos o quadrado no denominador s^2+2s+5=(s+1)^2+4 e reescrevemos o numerador de modo a usar transformadas padrões:
(-3/5)s-6/5=-tfrac35(s+1)-tfrac35
Então
F(s)=3/5s-3/5, (s+1)(s+1)^2+4-3/5(s+1)^2+4

Passo 5

Por fim aplicamos as transformadas inversas conhecidas:
  • L^-1[1/s]=1
  • L^-1[(s+1)/((s+1)^2+4)]=e^-tcos(2t)
  • L^-1[1/((s+1)^2+4)]=(1/2)e^-tsin(2t).
    Juntando tudo, obtemos a solução em função do tempo.

Resposta

f(t)=tfrac35-tfrac35e^-tcos(2t)-tfrac310e^-tsin(2t)

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