Seja a função real de duas variáveis f(x, y)=ln (x^2-2 y).
Determine todo o domínio da função e represente-o graficamente.

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos o domínio de f(x,y)=lnl(x^2-2yr) e desenhá-lo. O conteúdo aqui é domínio de funções reais de duas variáveis, e vamos precisar usar a condição de existência do logaritmo: o seu argumento deve ser estritamente positivo.

Passo 2

Para a função existir, precisamos ter
x^2-2y>0

Passo 3

Agora vamos isolar y. Reordenando a desigualdade:
x^2>2yLongrightarrow y

Passo 4

Geometricamente, isso significa que o domínio é o conjunto de todos os pontos (x,y) abaixo da parábola de equação y=tfracx^22. É uma região aberta, pois a desigualdade é estrita.

Resposta

O domínio de f é
$$D={(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^2-2y>0}={(x,y)\in\mathbb R^2\mid y<\tfrac{x^2}{2}}.
$$
Graficamente, é a região aberta abaixo da parábola D=(x,y)in R^2mid x^2-2y>0=(x,y)in R^2mid y.

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