Seja uma função real descrita por
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Determine o domínio da função e represente-o graficamente.
Determine o domínio da função e represente-o graficamente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. A função que temos é $ f(x, y) = \sqrt{x} + \sqrt{16 - x^2 - y^2} $. O que a gente precisa fazer aqui é determinar o domínio dessa função, ou seja, descobrir para quais valores de $ x $ e $ y $ a função está definida. Além disso, vamos representar esse domínio graficamente. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre raízes quadradas e inequações.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente para entender quando elas estão definidas. A função $ f(x, y) $ tem duas raízes quadradas:
-
$ \sqrt{x} $: A raiz quadrada está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Então, precisamos que $ x \geq 0 $.
-
$ \sqrt{16 - x^2 - y^2} $: Novamente, a raiz quadrada requer que $ 16 - x^2 - y^2 \geq 0 $.
Passo 3
Vamos resolver a segunda condição: $ 16 - x^2 - y^2 \geq 0 $. Podemos reorganizar essa inequação para:
Essa é a equação de um círculo centrado na origem (0,0) com raio 4. Ou seja, os pontos $ (x, y) $ que satisfazem essa inequação estão dentro ou sobre o círculo de raio 4.
Passo 4
Agora, juntando as duas condições que encontramos:
- $ x \geq 0 $
- $ x^2 + y^2 \leq 16 $
Isso significa que o domínio da função $ f(x, y) $ é a parte do círculo com raio 4 que está na metade onde $ x $ é maior ou igual a zero. Em outras palavras, é a região semicircular à direita do eixo $ y $.
Passo 5
Para representar graficamente, imaginamos um círculo com raio 4 centrado na origem. O domínio é a metade desse círculo onde $ x $ é positivo ou zero. Então, vamos desenhar um semicírculo cobrindo todos os pontos de $ y $ que satisfazem $ y^2 \leq 16 - x^2 $ para cada $ x \geq 0 $.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{x} + \sqrt{16 - x^2 - y^2} $ é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ onde $ x \geq 0 $ e $ x^2 + y^2 \leq 16 $. Graficamente, esse domínio corresponde a um semicírculo de raio 4 localizado na região onde $ x $ é positivo ou zero.