Calcule a transformada inversa de Laplace
F(s)=\frac{e^{-2 s}}{s^{2}-4}\

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: F(s)=\dfrac{e^{-2 s}}{s^{2}-4}.
  • Pedido: encontrar a transformada inversa de Laplace de F(s), ou seja achar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Aparece um fator exponencial de deslocamento e^{-2s}.
  • O fator racional é \dfrac{1}{s^{2}-4}.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (enunciado e ideia):
  • Segunda propriedade de deslocamento (teorema do segundo deslocamento, ou shifting theorem): se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então, para a>0,
\mathcal{L}\{u(t-a)\,f(t-a)\}=e^{-a s}F(s),
onde u(t-a) é a função degrau unitário deslocada: u(t-a)=0 para t<a e u(t-a)=1 para t\ge a.
  • Consequência prática (versão inversa): se F(s)=e^{-a s}G(s) e g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}, então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=u(t-a)\,g(t-a).
Explicação rápida por que isso vale (sem formalidades pesadas): ao calcular a transformada de u(t-a)f(t-a) muda-se a variável t=a+\tau na integral da Laplace e surge o fator e^{-as} multiplicando a transformada de f(\tau). Assim o fator exponencial em s corresponde a um atraso no tempo multiplicado pelo degrau.

Passo 3

Aplicando essa ideia ao problema:
  • Identifico a=2 porque o fator é e^{-2s}.
  • Escrevo F(s) como produto
F(s)=e^{-2s}\cdot G(s), \qquad \text{com } G(s)=\dfrac{1}{s^{2}-4}.
Portanto preciso primeiro achar g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} e depois aplicar o deslocamento t\mapsto t-2 com o degrau u(t-2).

Passo 4

Calcular g(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}-4}\right\} passo a passo:
  • Faço frações parciais em G(s)=\dfrac{1}{(s-2)(s+2)}. Procuro A e B tais que
\dfrac{1}{(s-2)(s+2)}=\dfrac{A}{s-2}+\dfrac{B}{s+2}.
Multiplicando por (s-2)(s+2) obtém-se
1 = A(s+2)+B(s-2).
  • Determino A e B avaliando em valores convenientes:
\text{Para } s=2:\quad 1 = A(4)\\ \Rightarrow\\ A=\tfrac{1}{4}.
\text{Para } s=-2:\quad 1 = B(-4)\\ \Rightarrow\\ B=-\tfrac{1}{4}.
  • Logo
G(s)=\dfrac{1}{s^{2}-4}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{s-2}-\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{s+2}.
  • Agora uso transformadas básicas: \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s-a}\}=e^{a t} para t\ge0. Assim
g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}=\dfrac{1}{4}e^{2t}-\dfrac{1}{4}e^{-2t}.
  • Posso escrever isso de forma mais compacta usando \operatorname{sinh}: como \operatorname{sinh}(2t)=\dfrac{e^{2t}-e^{-2t}}{2}, tem-se
g(t)=\dfrac{1}{4}\bigl(e^{2t}-e^{-2t}\bigr)=\dfrac{1}{2}\operatorname{sinh}(2t).
(Ambas as formas são equivalentes; a forma com \operatorname{sinh} às vezes deixa a expressão mais limpa.)

Passo 5

Aplicar o deslocamento temporal pelo teorema do Passo 2:
  • Como F(s)=e^{-2s}G(s) e g(t)=\dfrac{1}{2}\operatorname{sinh}(2t), então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=u(t-2)\,g(t-2).
  • Substituindo g:
f(t)=u(t-2)\cdot\dfrac{1}{2}\operatorname{sinh}\!\bigl(2(t-2)\bigr).
  • Se preferir em termos de exponenciais:
f(t)=u(t-2)\cdot\dfrac{1}{4}\bigl(e^{2(t-2)}-e^{-2(t-2)}\bigr).

Passo 6

Pequena verificação mental (para dar confiança): por definição da propriedade do deslocamento a transformada de u(t-2)g(t-2) é e^{-2s}G(s). Como G(s)=1/(s^{2}-4), recupera-se exatamente F(s). Então a resposta é consistente.

Resposta

f(t)=u(t-2)\,\dfrac{1}{2}\operatorname{sinh}\bigl(2(t-2)\bigr)

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