Calcule a transformada inversa de Laplace
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
. - Pedido: encontrar a transformada inversa de Laplace de
, ou seja achar .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Aparece um fator exponencial de deslocamento
. - O fator racional é
.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (enunciado e ideia):
- Segunda propriedade de deslocamento (teorema do segundo deslocamento, ou shifting theorem): se
então, para ,
onde
é a função degrau unitário deslocada:
para
e
para
.
- Consequência prática (versão inversa): se
e , então
Explicação rápida por que isso vale (sem formalidades pesadas): ao calcular a transformada de
muda-se a variável
na integral da Laplace e surge o fator
multiplicando a transformada de
. Assim o fator exponencial em
corresponde a um atraso no tempo multiplicado pelo degrau.
Passo 3
Aplicando essa ideia ao problema:
- Identifico
porque o fator é . - Escrevo
como produto
Portanto preciso primeiro achar
e depois aplicar o deslocamento
com o degrau
.
Passo 4
Calcular
passo a passo:
- Faço frações parciais em
. Procuro e tais que
Multiplicando por
obtém-se
- Determino
e avaliando em valores convenientes:
- Logo
- Agora uso transformadas básicas:
para . Assim
- Posso escrever isso de forma mais compacta usando
: como , tem-se
(Ambas as formas são equivalentes; a forma com
às vezes deixa a expressão mais limpa.)
Passo 5
Aplicar o deslocamento temporal pelo teorema do Passo 2:
- Como
e , então
- Substituindo
:
- Se preferir em termos de exponenciais:
Passo 6
Pequena verificação mental (para dar confiança): por definição da propriedade do deslocamento a transformada de
é
. Como
, recupera-se exatamente
. Então a resposta é consistente.